Question

2．已知a是方程（$\frac{x+2}{x-1}$）²-（$\frac{x+2}{x-1}$）-2=0的根，$\frac{a-2}{a-1}$÷（$\frac{a+2}{a-2}$-$\frac{8a}{{a}^{2}-4}$）的值？

Answer 1

分析 先根据已知条件利用换元法求出$\frac{a+2}{a-1}$=2或-1，再将分式化简，并代入得出结论．

解答 解：（$\frac{x+2}{x-1}$）²-（$\frac{x+2}{x-1}$）-2=0，
把x=a代入得：（$\frac{a+2}{a-1}$）²-$\frac{a+2}{a-1}$-2=0，
设$\frac{a+2}{a-1}$=b，则原方程变形为：b²-b-2=0，
解得：b₁=2，b₂=-1，
∴$\frac{a+2}{a-1}$=2或-1，
$\frac{a-2}{a-1}$÷（$\frac{a+2}{a-2}$-$\frac{8a}{{a}^{2}-4}$），
=$\frac{a-2}{a-1}$÷（$\frac{{a}^{2}+4a+4}{{a}^{2}-4}$-$\frac{8a}{{a}^{2}-4}$），
=$\frac{a-2}{a-1}$÷$\frac{（a-2）^{2}}{（a+2）（a-2）}$，
=$\frac{a-2}{a-1}$•$\frac{a+2}{a-2}$，
=$\frac{a+2}{a-1}$，
当$\frac{a+2}{a-1}$=2或-1时，原式=2或-1．

点评 本题考查了分式方程和分式的混合运算，本题运用了整体代入的思想，并与换元法相结合，求出一个分式的值，而不是方程的解x；在分式的化简中，分解因式是基础，要熟练掌握平方差公式和完全平方公式，并注意运算顺序》