Question

9．如图所示，I是△ABC三内角平分线的交点，IE⊥BC于E，AI延长线交BC于D，CI的延长线交AB于F，下列结论：①∠BIE=∠CID；②S_△ABC=$\frac{1}{2}$IE（AB+BC+AC）；③BE=$\frac{1}{2}$（AB+BC-AC）；④AC=AF+DC．其中正确的结论是（　　）

• A． ①②③
• B． ①②④
• C． ②③④
• D． ①②③④

Answer 1

分析 ①由I为△ABC三条角平分线的交点，IE⊥BC于E，得到∠ABI=∠IBD，由于∠CID+∠ABI=90°，即∠CIE+∠DIE+∠IBD=90°，于是得到∠BIE=∠CID；即①成立；②由I是△ABC三内角平分线的交点，得到点I到△ABC三边的距离相等，根据三角形的面积即可得到即②成立；③如图过I作IH⊥AB于H，IG⊥AC于G，有I是△ABC三内角平分线的交点，得到IE=IH=IG，通过R_t△AHT≌△R_tAGI，得到AH=AG，同理BE=BF，CE=CG，于是得到即③成立；④由③证得IH=IE，∠FHI=∠IED=90°，于是得到△IHF与△DEI不一定全等，即④错误．

解答 解：①∵I为△ABC三条角平分线的交点，IE⊥BC于E，
∴∠ABI=∠IBD，
∵∠CID+∠ABI=90°，即∠CIE+∠DIE+∠IBD=90°，
∵IE⊥BC于E，
∴∠ACF+∠DAC十∠ABI=9O°，∠DIC二90°一∠IBD，∠BIE二90°一∠IBE，
∴∠BIE=∠CID；即①成立；
②∵I是△ABC三内角平分线的交点，
∴点I到△ABC三边的距离相等，
∴S_△ABC=S_△ABI+S_△BCI+S_△ACI=$\frac{1}{2}$•AB•IE$+\frac{1}{2}$BC•IE$+\frac{1}{2}$AC•IE=$\frac{1}{2}$IE（AB+BC+AC），即②成立；
③如图过I作IH⊥AB于H，IG⊥AC于G，
∵I是△ABC三内角平分线的交点，
∴IE=IH=IG，
在R_t△AHT与△R_tAGI中，
$\left\{\begin{array}{l}{AI=AI}\\{IH=IG}\\{\;}\end{array}\right.$，
∴R_t△AHT≌△R_tAGI，
∴AH=AG，同理BE=BH，CE=CG，
∴BE+BH=AB+BC-AH-CE=AB+BC-AC，
∴BE=$\frac{1}{2}$（AB+BC-AC）；即③成立；
④由③证得IH=IE，
∵∠FHI=∠IED=90°，
∴△IHF与△DEI不一定全等，
∴HF不一定等于DE，
∴AC=AG+CG=AH+CE≠AF+CD，即④错误．
故选A．

点评 本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解答此类题目的关键是要熟练掌握三角形内角与外角的关系，并且熟知用排除法解答选择题的技巧．