Question

如图，在反比例函数y=

2

x

（x＞0）的图象上，有点P₁，P₂，P₃，P₄，…P_n，P_n+1，它们的横坐标依次为1，2，3，4…n，n+1，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，构成若干个矩形，所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S₁，S₂，S₃…S_n，则S₁+S₂+S₃+…+S_n=

2n

n+1

．

Answer 1

分析：求出P₁、P₂、P₃、P₄…的纵坐标，从而可计算出S₁、S₂、S₃、S₄…的高，进而求出S₁、S₂、S₃、S₄…，从而得出S₁+S₂+S₃+…+S_n的值．

解答：解：当x=1时，P₁的纵坐标为2，
当x=2时，P₂的纵坐标1，
当x=3时，P₃的纵坐标

2

3

，
当x=4时，P₄的纵坐标

1

2

，
当x=5时，P₅的纵坐标

2

5

，
…
则S₁=1×（2-1）=2-1；
S₂=1×（1-

2

3

）=1-

2

3

；
S₃=1×（

2

3

-

1

2

）=

2

3

-

2

4

；
S₄=1×（

1

2

-

2

5

）=

2

4

-

2

5

；
…
Sn=

2

n

-

2

n+1

；
S₁+S₂+S₃+…+S_n=2-1+1-

2

3

+

2

3

-

2

4

+

2

4

-

2

5

+…+

2

n

-

2

n+1

=2-

2

n+1

=

2n

n+1

．
故答案为：

2n

n+1

．

点评：此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据坐标求出个阴影的面积表达式是解题的关键．