Question

1．如图，二次函数$y=\frac{1}{2}{（x-3）^2}-1$的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点为D．
（1）求点A，B，D的坐标；
（2）连接CD，过原点O作OE⊥CD，垂足为H，OE与该图象的对称轴交于点E，连接AE，AD，求∠DAE的大小；
（3）设点E关于点D的对称点为F，分别以E，F为圆心，1为半径作两个圆，该二次函数的图象上是否存在一点P，使得过P向两个圆各作一条切线PM，PN（M，N为切点），且PM，PN刚好可以作为一个斜边为4的直角三角形的两条直角边？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）令y=0，即可求出点A、B坐标，根据顶点式可以知道点D坐标．
（2）先求出直线CD解析式，根据OE⊥CD求出直线OE解析式，再求出点E坐标，利用两点间距离公式求出线段AE²，AD²，DE²，由勾股定理的逆定理证明△EAD是直角三角形即可解决问题．
（3）存在．设点P为（m，n），求出PM²，PN²，根据PM²+PN²=4²，列出方程即可解决问题．

解答 解：（1）令y=0，则$\frac{1}{2}$（x-3）²-1=0，解得x=3$±\sqrt{2}$，
∴点A坐标（3-$\sqrt{2}$，0），点B坐标（3+$\sqrt{2}$，0），
令x=0则y=$\frac{7}{2}$，
∴点C坐标（0，$\frac{7}{2}$），顶点D坐标（3，-1）．
（2）设直线CD解析式为y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=-1}\\{b=\frac{7}{2}}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{2}}\\{b=\frac{7}{2}}\end{array}\right.$，
∴直线CD解析式为y=-$\frac{3}{2}$x+$\frac{7}{2}$，
∵OE⊥CD，
∴直线OE解析式为y=$\frac{2}{3}$x，
∴x=3时，y=2，
∴点E坐标（3，2），
∴AE²=（$\sqrt{2}$）²+2²=6，AD²=（$\sqrt{2}$）²+1²=3，DE²=3²=9，
∴AE²+AD²=DE²，
∴∠EAD=90°．
（3）存在．
理由：由题意E（3，2），F（3，-4），设点P为（m，n），
∵点P在抛物线上，
∴n=$\frac{1}{2}$（m-3）²-1      ①
∴PM²=PE²-1²=（m-3）²+（n-2）²-1，PN²=PF²-1²=（m-3）²+（n+4）²-1，
∵PM²+PN²=4²，
∴（m-3）²+（n-2）²-1+（m-3）²+（n+4）²-1=4²，
整理得到（m-3）²+（n+1）²=0      ②
由①②得到m=3，n=-1，
∴点P坐标（3，-1）．

点评 本题考查二次函数综合题、一次函数．两点间距离公式、勾股定理、非负数的性质等知识，解题的关键是熟练掌握求抛物线与坐标轴的交点，学会理由参数解决问题，本题有一定的代数技巧，巧用非负数的性质这个突破口，属于中考压轴题．