Question

14．设直角三角形的两条直角边长及斜边上的高分别为a，b及h，求证：$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}=\frac{1}{{h}^{2}}$．

Answer 1

分析 设斜边为c，根据勾股定理即可得出c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$，再由三角形的面积公式即可得出结论．

解答 证明：设斜边为c，根据勾股定理即可得出c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$，
∵$\frac{1}{2}$ab=$\frac{1}{2}$ch，
∴ab=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$h，即a²b²=a²h²+b²h²，
∴$\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{{a}^{2}{b}^{2}{h}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}{h}^{2}}{{a}^{2}{b}^{2}{h}^{2}}$+$\frac{{b}^{2}{h}^{2}}{{a}^{2}{b}^{2}{h}^{2}}$，
即$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}=\frac{1}{{h}^{2}}$．

点评 本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．