Question

【题目】如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E为对角线AC上一动点（点E与点A，C不重合），连接DE，作EF⊥DE交射线BA于点F，过点E作MN∥BC分别交CD，AB于点M、N，作射线DF交射线CA于点G．

（1）求证：EF＝DE；

（2）当AF＝2时，求GE的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）根据正方形的性质以及EF⊥DE，证明△DME≌△ENF即可；

（2）根据勾股定理计算出DF，根据平行线的性质得到，计算出DG，FG的值，利用特殊角的锐角三角函数计算出DE的值，最后证明△DGE∽△AGF，利用相似比列出方程即可求出GE的值．

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，且MN∥BC，

∴四边形ANMD是矩形，∠BAC=45°，

∴∠ANM=∠DMN=90°，EN=AN=DM，

∴∠DEM+∠EDM=90°，

∵EF⊥DE，

∴∠DEM+∠FEN=90°，

∴∠EDM=∠FEN，

∴在△DME与△ENF中

∠DME=∠ENF=90°，DM=EN，∠EDM=∠FEN，

∴△DME≌△ENF（ASA），

∴EF＝DE；

（2）∵四边形ABCD是正方形，

∴AB∥DC，∠DAB=90°，

∴DF=，

∴，即，解得：DG=，

∴FG=DF-DG=，

又∵DE=EF，EF⊥DE，

∴△DEF是等腰直角三角形，

∴∠EDF=45°，DE=EF=，

∴∠GAF=∠GDE=45°，

又∵∠DGE=∠AGF，

∴△DGE∽△AGF，

∴，即，解得：，

∴．