Question

【题目】如图，在中 ，连接，点,分别是的点（点不与点重合），,相交于点.

(1)求，的长；

(2)求证：～；

(3)当时，请直接写出的长.

Answer 1

【答案】（1）AD=10，BD=10；（2）见解析；（3）AG=．

【解析】

（1）由可证明△ABC∽△DAC，通过相似比即可求出AD，BD的长；

（2）由（1）可证明∠B=∠DAB，再根据已知条件证明∠AFC=∠BEF即可；

（3）过点C作CH∥AB，交AD的延长线于点H，根据平行线的性质得到，计算出CH和AH的值，由已知条件得到≌，设AG=x，则AF=15-x，HG=18-x，再由平行线的性质得到，表达出即可解出x，即AG的值．

解：（1）∵，

∴，

又∵∠ACB=∠DCA，

∴△ABC∽△DAC，

∴，即，

解得：CD=8，AD=10，

∴BD=BC-CD=18-8=10，

∴AD=10，BD=10；

（2）由（1）可知，AD=BD=10，

∴∠B=∠DAB，

∵∠AFE=∠B+∠BEF，

∴∠AFC+∠CFE=∠B+∠BEF，

∵，

∴∠AFC=∠BEF，

又∵∠B=∠DAB，

∴～；

（3）如图，过点C作CH∥AB，交AD的延长线于点H，

∴，

即，解得：CH=12，HD=8，

∴AH=AD+HD=18，

若，

则≌；

∴BF=AG，

设AG=x，则AF=15-x，HG=18-x，

∵CH∥AB，

∴，即，

解得：，（舍去）

∴AG=．