Question

抛物线y=ax²+bx-4a经过A（1，0）、C（0，4）两点，与x轴交于另一点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点D（m，1-m）在第二象限的抛物线上，求点D关于直线BC的对称点的坐标；
（3）在（2）的条件下，连接BD，点P为抛物线上一点，且∠DBP=45°，求出点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）由抛物线y=ax²+bx-4a经过A（1，0）、C（0，4）两点，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；
（2）由点D（m，1-m）在抛物线y=-x²-3x+4上，即可求得点D的坐标，则可求得∠CBO的度数，然后过点D作DE⊥BC于E，延长DE交y轴于F，又由点F即为点D关于直线BC的对称点，即可求得点F的坐标；
（3）由∠CDB＞90°，∠BCD=45°，可得点P在直线BC下方的抛物线上．然后在Rt△DCE中与Rt△BCO中，Rt△BDE中，由三角函数的知识求得∠PBO的正切值，然后过点P作PM⊥x轴于M，在Rt△BDE中，利用三角函数的知识即可求得点P的坐标．

解答：解：（1）抛物线y=ax²+bx-4a经过A（1，0）、C（0，4）两点，
∴

a+b-4a=0 -4a=4.

（1分）
解得

a=-1 b=-3.

∴此抛物线的解析式为y=-x²-3x+4．（2分）

（2）∵点D（m，1-m）在抛物线y=-x²-3x+4上，
∴-m²-3m+4=1-m，
解之，得m₁=-3，m₂=1．
∵点D在第二象限，
∴D（-3，4）．（3分）
令y=-x²-3x+4=0，
得x₁=1，x₂=-4．
∴B（-4，0）．
∴∠CBO=45°．
连接DC，
易知DC∥BA，DC⊥CO，DC=3，
∴∠DCB=∠CBO=45°．
∴∠BCD=45°．
过点D作DE⊥BC于E，延长DE交y轴于F，
∴∠D=45°．
∴∠CFE=45°．
∴DE=CE=EF．
∴点F即为点D关于直线BC的对称点．（4分）
∴CD=CF=3．
∴F（0，1）．（5分）

（3）∵∠CDB＞90°，∠BCD=45°，
∴∠DBC＜45°
∵∠DBP=45°，
∴点P在直线BC下方的抛物线上．
在Rt△DCE中，DC=3，∠DCE=45°，
∴DE=EC=

3 2

2

．
在Rt△BCO中，OB=OC=4，
∴BC=4

2

．
∴BE=

5 2

2

．
∴在Rt△BDE中，tan∠DBE=

3

5

．
∵∠DBP=∠CBO=45°，
∴∠DBC=∠PBO．（6分）
∴tan∠DBC=tan∠PBO=

3

5

．
过点P作PM⊥x轴于M，
∴在Rt△BDE中，tan∠PBO=

PM

BM

=

3

5

．
设PM=3t，则BM=5t，
∴OM=5t-4．
∴P（5t-4，3t）．（7分）
∴-（5t-4）²-3（5t-4）+4=3t．
解得t₁=0，t₂=

22

25

．
∴P（

2

5

，

66

25

）．（8分）

点评：此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，点的对称性，直角三角形的性质以及三角函数的知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是方程思想、转化思想与数形结合思想的应用．