题目内容

如图,在直角坐标平面内,O为原点,抛物线y=ax2+bx经过点A(6,0),且顶点B(m,6)在直线y=2x上.
(1)求m的值和抛物线y=ax2+bx的解析式;
(2)如在线段OB上有一点C,满足OC=2CB,在x轴上有一点D(10,0),连接DC,且直线DC与y轴交于点E.
①求直线DC的解析式;
②如点M是直线DC上的一个动点,在x轴上方的平面内有另一点N,且以O、E、M、N为顶点的四边形是菱形,请求出点N的坐标.(直接写出结果,不需要过程.)
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分析:(1)先根据抛物线y=ax2+bx的顶点B(m,6)在直线y=2x上可求出m的值,再用待定系数发即可求出此抛物线的解析式;
(2)①作CH⊥OA,BG⊥OA,再根据平行线分线段成比例定理即可得出CH的长,进而求出C点坐标,再根据D点坐标用待定系数法即可求出直线DC解析式;
②根据菱形的性质即可求出符合条件的N点坐标.
解答:精英家教网解:(1)∵顶点B(m,6)在直线y=2x,
∴m=3,(1分)
∴B(3,6),把AB两点坐标代入抛物线的解析式得,
36a+6b=0
9a+3b=6
,解得
a=-
2
3
b=4

∴抛物线:y=-
2
3
x2+4x;(3分)

(2)①如图1,作CH⊥OA,BG⊥OA,
∴CH∥BG,
CH
BG
=
OC
OB
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∵OC=2CB,
CH
6
=
2
3
,CH=4,
∴点C的坐标为(2,4)(2分)
∵D(10,0)根据题意
2k+b=4
10k+b=0
,解得:
k=-
1
2
b=5

∴直线DC解析式y=-
1
2
x+5;(2分)

②如图2:∵四边形ENOM是菱形,
∴OS=ES=
1
2
OE=
5
2

∴NK=
5
2
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∵ON∥DE,
∴tan∠NOK=tan∠EDO=
EO
OD
=
MK
OK
=
1
2

∴OK=5,
∴N1(-5,
5
2
),
如图3:∵EM⊥OB,
∴ON=2OC,
∵点C的坐标为(2,4),
∴N2(4,8);
③如图4:
∵直线DC解析式y=-
1
2
x+5,精英家教网
∴E(0,5),
设M(x,-
1
2
x+5),
∵四边形ENOM是菱形,
∴EM=OE=5,即x2+(-
1
2
x)2=25,解得x=2
5

∴M(-2
5
,5+
5
),
∴可设N(-2
5
,y),则|5+
5
-y|=5,解得y=
5
或y=10+
5
(舍去)
∴N3(-2
5
5
).
点评:本题考查的是二次函数综合题,涉及到用待定系数法求一次函数及二次函数的解析式、菱形的性质、平行线的性质,根据题意作出辅助线是解答此题的关键.
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