Question

分析探索题：细心观察如图，认真分析各式，然后解答问题．
OA₂²=（

1

）²+1=2    S₁=

1

2

；
OA₃²=（

2

）²+1=3    S₂=

2

2

；
OA₄²=（

3

）²+1=4     S₃=

3

2

…
（1）请用含有n（n为正整数）的等式S_n=

 

；
（2）推算出OA₁₀=

 

．
（3）求出 S₁²+S₂²+S₃²+…+S₁₀²的值．

Answer 1

考点：勾股定理,算术平方根

专题：规律型

分析：（1）此题要利用直角三角形的面积公式，观察上述结论，会发现，第n个图形的一直角边就是

n

，然后利用面积公式可得．
（2）由同述OA₂=

2

，0A₃=

3

…可知OA₁₀=

10

．
（3）S₁²+S₂²+S₃²+…+S₁₀²的值就是把面积的平方相加就可．

解答：解：（1）(

n

)2+1=n+1
Sn=

n

2

（n是正整数）；
故答案是：

n

2

；

（2）∵OA₁²=1，
OA₂²=（

1

）²+1=2，
OA₃²=（

2

）²+1=3，
OA₄²=（

3

）²+1=4，
∴OA₁²=

1

，
OA₂=

2

，
OA₃=

3

，…
∴OA₁₀=

10

；
故答案是：

10

；

（3）S₁²+S₂²+S₃²+…+S₁₀²
=（

1

2

）²+（

2

2

）²+（

3

2

）²+…+（

10

2

）²
=

1

4

（1+2+3+…+10）
=

55

4

．
即：S₁²+S₂²+S₃²+…+S₁₀²=

55

4

．

点评：此题考查了勾股定理、算术平方根．解题的关键是观察，观察题中给出的结论，由此结论找出规律进行计算．千万不可盲目计算．