Question

【题目】已知直线y=kx+6（k＜0）分别交x轴、y轴于A、B两点，线段OA上有一动点P由原点O向点A运动，速度为每秒2个单位长度，过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，设运动时间为t秒．

（1）当k=-1时，线段OA上另有一动点Q由点A向点O运动，它与点P以相同速度同时出发，当点P到达点A时两点同时停止运动（如图1）．

①直接写出t=1秒时C、Q两点的坐标；

②若以Q、C、A为顶点的三角形与△AOB相似，求t的值．

（2）当k=-时，设以C为顶点的抛物线y=（x+m）2+n与直线AB的另一交点为D（如图2），①求CD的长；②设△COD的OC边上的高为h，当t为何值时，h的值最大？

Answer 1

【答案】(1) ①C（2，4）；Q（4，0）；②1.5秒或2秒；(2)①CD=；②当t为秒时，h的值最大．

【解析】

（1）①求出函数解析式，求出A、B的坐标，当t=1，求出OP=2，AQ=2，从而得到C，Q的解析式；

②由题意得，P（2t，0），C（2t，-2t+6），Q（6-2t，0），分两种情况讨论：情形一：当△AQC∽△AOB时，∠AQC=∠AOB=90°；情形二：当△ACQ∽△AOB时，∠ACQ=∠AOB=90°．

（2）①由题意得：C（2t，-t+6），根据△DEC∽△AOB，得到，求出CD的长；

②S△COD为定值，要使OC边上的高h的值最大，只要OC最短，当OC⊥AB时，OC最短，此时OC的长为，判断出Rt△PCO∽Rt△OAB，得到，解答即可．

（1）当k=-1时，直线为y=-x+6，可知，A（6，0），B（0，6），

①t=1时，OP=2，得C（2，4）；AQ=2，得Q（4，0）．

②由题意得，P（2t，0），C（2t，-2t+6），Q（6-2t，0），

分两种情况讨论：情形一：当△AQC∽△AOB时，∠AQC=∠AOB=90°，

∴CQ⊥OA，

∵CP⊥OA，

∴点P与点Q重合，OQ=OP，即6-2t=2t，

∴t=1.5．

情形二：当△ACQ∽△AOB时，∠ACQ=∠AOB=90°，

∵OA=OB=6，

∴△AOB是等腰直角三角形，

∴△ACO也是等腰直角三角形，

∵CP⊥OA，

∴AQ=2CP，即2t=2（-2t+6），

∴t=2，

∴满足条件的t的值是1.5秒或2秒．

（2）①由题意得：C（2t，-t+6），

∴以C为顶点的抛物线解析式是y=（x-2t）2-t+6，

由（x-2t）2-t+6=-x+6，

解得x1=2t，x2=2t-，

过点D作DE⊥CP于点E，则∠DEC=∠AOB=90°

∵DE∥OA，

∴∠EDC=∠OAB，

∴△DEC∽△AOB，

∴，

∵AO=8，AB=10，

∵AO=8，AB=10，

DE=2t-（2t-）=，

∴

②∵CD=，

CD边上的高=，

∴S△COD=，

∴S△COD为定值，要使OC边上的高h的值最大，只要OC最短，当OC⊥AB时，OC最短，此时OC的长为，∠BCO=90°，

∵∠AOB=90°，

∴∠COP=90°-∠BOC=∠OBA，

又∵CP⊥OA，

∴Rt△PCO∽Rt△OAB．

∴，

，

2t=，

∴t=，

∴当t为秒时，h的值最大．