Question

【题目】如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝的图象相交于点A(－2，1)，B(1，n)．

(1)求此一次函数和反比例函数的解析式；

(2)在平面直角坐标系的第二象限内边长为1的正方形EFDG的边均平行于坐标轴，若点E的坐标为(－a，a)，当曲线y＝ (x＜0)与此正方形的边有交点时，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）反比例函数的解析式为y＝－，一次函数的解析式为y＝－x－1；（2）a的取值范围为≤a≤＋1.

【解析】（1）∵点A（﹣2，1）在反比例函数y=的图象上，

∴m=﹣2×1=﹣2，

∴反比例函数解析式为y=﹣；

∵点B（1，n）在反比例函数y=﹣的图象上，

∴﹣2=n，即点B的坐标为（1，﹣2）．

将点A（﹣2，1）、点B（1，﹣2）代入y=kx+b中得：

，解得：，

∴一次函数的解析式为y=﹣x﹣1 ．

（2）不等式﹣x﹣1﹣（﹣）＜0可变形为：﹣x﹣1＜﹣，

观察两函数图象，发现：

当﹣2＜x＜0或x＞1时，一次函数图象在反比例图象下方，

∴满足不等式kx+b﹣＜0的解集为﹣2＜x＜0或x＞1．

（3）过点O、E作直线OE，如图所示．

∵点E的坐标为（﹣a，a），

∴直线OE的解析式为y=﹣x．

∵四边形EFDG是边长为1的正方形，且各边均平行于坐标轴，

∴点D的坐标为（﹣a+1，a﹣1），

∵a﹣1=﹣（﹣a+1），

∴点D在直线OE上．

将y=﹣x代入y=﹣（x＜0）得：

﹣x=﹣，即x2=2，解得：x=﹣，或x=（舍去）．

∵曲线y=﹣（x＜0）与此正方形的边有交点，

∴﹣a≤﹣≤﹣a+1，解得：≤a≤+1．

故当曲线y=（x＜0）与此正方形的边有交点时，

a的取值范围为≤a≤+1．