Question

已知正方形ABCD，绕A点顺时针旋转45°得到正方形AB′C′D′，如图所示，如果正方形ABCD边长为1，则四边形的ABED′周长是________．

Answer 1

分析：作D′H⊥AB于H，EP⊥D′H于P，根据旋转的性质得到AD′=AD=AB=1，∠DAD′=45°，则∠D′AH=45°，可判断△AHD′为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到AH=D′H=AD′=，∠AD′H=45°，于是可计算出BH=PE=1-，∠ED′P=45°，也得到△PED′为等腰直角三角形，则DE′=PE=（1-）=-1，D′P=PE=1-，再计算出BE=PH=D′H-D′P=-（1-）=-1，然后利用周长公式计算四边形的ABED′周长．
解答：作D′H⊥AB于H，EP⊥D′H于P，如图，
∵正方形ABCD，绕A点顺时针旋转45°得到正方形AB′C′D′，
∴AD′=AD=AB=1，∠DAD′=45°，
∴∠D′AH=45°，
∴△AHD′为等腰直角三角形，
∴AH=D′H=AD′=，∠AD′H=45°，
∴BH=PE=1-，∠ED′P=45°，
∴△PED′为等腰直角三角形，
∴DE′=PE=（1-）=-1，D′P=PE=1-，
∴BE=PH=D′H-D′P=-（1-）=-1，
∴四边形的ABED′周长=AD′+AB+BE+ED′=1+1+-1+-1=2．
故答案为2．
点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了正方形的性质以及等腰直角三角形的判定与性质．