Question

7．如图，直线y=-2x+4交y轴于点A，交抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c于点B（3，-2），抛物线经过点C（-1，0），交y轴于点D，点P是抛物线上的动点，作PE⊥DB交DB所在直线于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当△PDE为等腰直角三角形时，求出PE的长及P点坐标；
（3）在（2）的条件下，连接PB，将△PBE沿直线AB翻折，直接写出翻折点后E的对称点坐标．

Answer 1

分析 （1）把B（3，-2），C（-1，0）代入y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c即可得到结论；
（2）由y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2求得D（0，-2），根据等腰直角三角形的性质得到DE=PE，列方程即可得到结论；
（3）①当P点在直线BD的上方时，如图1，设点E关于直线AB的对称点为E′，过E′作E′H⊥DE于H，求得直线EE′的解析式为y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{9}{2}$，设E′（m，$\frac{1}{2}$m-$\frac{9}{2}$），根据勾股定理即可得到结论；②当P点在直线BD的下方时，如图2，设点E关于直线AB的对称点为E′，过E′作E′H⊥DE于H，得到直线EE′的解析式为y=$\frac{1}{2}$x-3，设E′（m，$\frac{1}{2}$m-3），根据勾股定理即可得到结论．

解答 解：（1）把B（3，-2），C（-1，0）代入y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c得，$\left\{\begin{array}{l}{-2=\frac{1}{2}×9+3b+c}\\{0=\frac{1}{2}-b+c}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{3}{2}}\\{c=-2}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2；
（2）设P（m，$\frac{1}{2}$m²-$\frac{3}{2}$m-2），
在y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2中，当x=0时，y=-2，
∴D（0，-2），
∵B（3，-2），
∴BD∥x轴，
∵PE⊥BD，
∴E（m，-2），
∴DE=m，PE=$\frac{1}{2}$m²-$\frac{3}{2}$m-2+2，或PE=-2-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{3}{2}$m+2，
∵△PDE为等腰直角三角形，且∠PED=90°，
∴DE=PE，
∴m=$\frac{1}{2}$m²-$\frac{3}{2}$m，或m=-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{3}{2}$m，
解得：m=5，m=1，m=0（不合题意，舍去），
∴PE=5或1，
P（1，-3），或（5，3）；
（3）①当P点在直线BD的上方时，如图1，设点E关于直线AB的对称点为E′，
过E′作E′H⊥DE于H，
由（2）知，此时，E（5，-2），
∴DE=5，
∴BE′=BE=2，
∵EE′⊥AB，
∴设直线EE′的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+b，
∴-2=$\frac{1}{2}$×5+b，
∴b=-$\frac{9}{2}$，
∴直线EE′的解析式为y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{9}{2}$，
设E′（m，$\frac{1}{2}$m-$\frac{9}{2}$），
∴E′H=-2-$\frac{1}{2}$m+$\frac{9}{2}$=$\frac{5}{2}$-$\frac{1}{2}$m，BH=3-m，
∵E′H²+BH²=BE′²，
∴（$\frac{5}{2}$-$\frac{1}{2}$m）²+（3-m）²=4，
∴m=$\frac{9}{5}$，m=5（舍去），
∴E′（$\frac{9}{5}$，-$\frac{18}{5}$）；
②当P点在直线BD的下方时，如图2，设点E关于直线AB的对称点为E′，
过E′作E′H⊥DE于H，
由（2）知，此时，E（1，-2），
∴DE=1，
∴BE′=BE=2，
∵EE′⊥AB，
∴设直线EE′的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+b，
∴-2=$\frac{1}{2}$×1+b，
∴b=-$\frac{5}{2}$，
∴直线EE′的解析式为y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{5}{2}$，
设E′（m，$\frac{1}{2}$m-$\frac{5}{2}$），
∴E′H=$\frac{1}{2}$m-$\frac{5}{2}$+2=$\frac{1}{2}$m-$\frac{1}{2}$，BH=m-3，
∵E′H²+BH²=BE′²，
∴（$\frac{1}{2}$m-$\frac{1}{2}$）²+（m-3）²=4，
∴m=4.2，m=2（舍去），
∴E′（4.2，-0.4），
综上所述，E的对称点坐标为（$\frac{9}{5}$，-$\frac{18}{5}$），（4.2，-0.4）．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的性质，勾股定理，折叠的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．