Question

在梯形ABCD中，AB∥CD，AC、BD相交于点O，若AC=8，BD=15，中位线长为

17

2

，△AOB的面积为S₁，△COD的面积为S₂，则

S1

+

S2

=

2

15

．

Answer 1

分析：首先根据题意画出图形，过点B作BE∥AC，交DC的延长线于点E，易得四边形ABEC是平行四边形，△BDE为直角三角形，又由设S_△EBD=S，可得△DOC∽△DBE，△OAB∽△BDE，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案．

解答：解：过点B作BE∥AC，交DC的延长线于点E，
∵AB∥CE，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∴CE=AB，BE=AC，
∵梯形中位线为

17

2

，
∴AB+CD=17，
∴DE=CE+CD=AB+CD=17，
∵BE=AC=8，BD=15，
∴DE²=BD²+BE²，
∴∠EBD=90°，
∴∠EBD=∠COD=90°，
设S_△EBD=S，
∵△DOC∽△DBE，△OAB∽△BDE，
则S₂：S=DO²：DB²，S₁：S=OB²：BD²，
∴

S1

+

S2

=

S

，
∵S_△EBD=

1

2

BD•BE=

1

2

×8×15=60，
∴

S1

+

S2

=

60

=2

15

．
故答案为：2

15

．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、梯形的性质以及勾股定理的逆定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．