Question

4．如图，已知点A（-1，0），B（7，0），P是线段AB上任意一点（不含端点A，B），过A、P两点的二次函数y₁和过P、B两点的二次函数y₂的图象开口均向上，它们的顶点分别为C、D，射线BD与AC相交于点E．当AE=BE=5时，这两个二次函数的最小值之和等于（　　）

• A． -1
• B． -2
• C． -3
• D． -4

Answer 1

分析 作CG⊥AB，EH⊥AB，DM⊥AB，根据二次函数的对称性可知AG=PG，PM=BM，根据等腰三角形的性质可知AH=BH=4从而得出AG+BM=PG+PM=$\frac{1}{2}$AB=4，再根据平行线分线段成比例定理求解即可．

解答 解：如图，由二次函数的性质，AC=PC，PD=BD，
∵AE=BE=5，
∴∠ABE=∠BAE，
作CG⊥AB，EH⊥AB，DM⊥AB，
∴AH=BH=4，AG=PG，PM=BM，
∴AG+BM=PG+PM=$\frac{1}{2}$AB=4，
∵AE=BE=5，
∴EH=3，
∴$\frac{AH}{EH}$=$\frac{BH}{EH}$=$\frac{4}{3}$，
∵CG⊥AB，EH⊥AB，DM⊥AB，
∴CG∥EH∥DM，
∴$\frac{AG}{GC}$=$\frac{BM}{DM}$=$\frac{AH}{EH}$=$\frac{4}{3}$
∴AG=$\frac{4}{3}$CG，BM=$\frac{4}{3}$DM，
∴$\frac{4}{3}$CG+$\frac{4}{3}$DM=4，
∴CG+DM=3，
∴两个二次函数的最小值之和等于-3．
故选C．

点评 本题考查了二次函数的最值问题，二次函数图象的对称性，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理等，求得AG+BM=PG+PM=$\frac{1}{2}$AB=4是解题的关键．