Question

已知，△ABC中，∠BAC=45°，以AB边为边以点B为直角顶点在△ABC外部作等腰直角三角形ABD，以AC边为斜边在△ABC外部作等腰直角三角形ACE，连接BE、DC，两条线段相交于F，试求∠EFC的度数．

Answer 1

分析：作DH∥BE交EA延长线于H，连接CH，易证四边形BEHD为平行四边形，然后证明△CEH≌△EAB，根据平行线的性质，可得出∠CHD是直角，即可求出∠EFC的度数．

解答：解：作DH∥BE交EA延长线于H，连接CH，
∵△ABD和△AEC是等腰直角三角形，∠BAC=45°，
∴∠BDA+∠DAE=180°，
∴四边形BEHD为平行四边形，
在△CEH和△EAB中，

CE=AE ∠CEH=∠EAB HE=AB

，
∴△CEH≌△EAB，
∴CH=BE=DH，∠CHE=∠ABE，
∵∠ABE+∠AEB=∠BAE=90°，
∴∠CHE+∠BEH=90°，
∴∠CHD=90°，
∴∠EFC=∠CDH=45°．

点评：本题主要考查了等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质，通过证明三角形全等，是证明角或边相等的重要方法．