Question

如图，已知在△ABC中，点D、E分别是AB、AC上的点，以AE为直径的⊙O与过B点的⊙P外切于点D，若AC和BC边的长是关于x的方程x²-（AB+4）x+4AB+8=0的两根，且25BC•sinA=9AB，
（1）求△ABC三边的长；
（2）求证：BC是⊙P的切线；
（3）若⊙O的半径为3，求⊙P的半径．

Answer 1

分析：（1）根据一元二次方程根与系数的关系得到AC+BC=AB+4，AC•BC=4AB+8，则有AC²+BC²=（AC+BC）²-2AC•BC=（AB+4）²-2（4AB+8）=AB²，根据勾股定理的逆定理得到∠C=90°，再利用正弦的定义得到sinA=

BC

AB

，而25BC•sinA=9AB，则

BC

AB

=

3

5

，然后设BC=3k，AB=5k，则AC=4k，利用AC+BC=AB+4即可求出k，从而得到△ABC三边的长；
（2）连接BP，PO，根据两圆相切的性质得到D在OP上，易证得∠PBD=∠A，则PB∥AC，得到PB⊥BC，根据切线的判定定理得到结论；
（3）设⊙P的半径为r，过P作PH⊥AC于H，则PH=BC=6，OH=8-3-r=5-r，在Rt△OPH中，利用勾股定理得到关于r的方程，解方程即可．

解答：（1）解：∵AC和BC边的长是关于x的方程x²-（AB+4）x+4AB+8=0的两根，
∴AC+BC=AB+4，AC•BC=4AB+8，
∴AC²+BC²=（AC+BC）²-2AC•BC=（AB+4）²-2（4AB+8）=AB²
∴∠C=90°，
∴sinA=

BC

AB

，
∵25BC•sinA=9AB，
∴9AB²=25BC²
∴

BC

AB

=

3

5

，
设BC=3k，AB=5k，则AC=4k，
∴4k+3k=5k+4，
∴k=2，
∴BC=6，AB=10，AC=8；

（2）证明：连接BP，PO，如图1，
∵⊙O与过B点的⊙P外切于点D，
∴D在OP上，
∵OA=OD，PD=PB，
∴∠A=∠ADO，∠PDB=∠PBD，
∴∠PBD=∠A，
∴PB∥AC，
∵∠C=90°，
∴PB⊥BC，
∴BC是⊙P的切线；

（3）设⊙P的半径为r，过P作PH⊥AC于H，如图2，
∴PH=BC=6，OH=8-3-r=5-r，
在Rt△OPH中，
∴OP²=PH²+OH²，即（3+r）²=（5-r）²+6²，
解得r=

13

4

．

点评：本题考查了两圆相切的性质：两圆相切，连心线必过切点；也考查了一元二次方程根与系数的关系、三角函数的定义和切线的判定以及勾股定理．