Question

2．某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次（最低档次）的产品一天能生产95件，每件利润6元．每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件．
（1）若生产第x档次的产品一天的总利润为y元（其中x为正整数，且1≤x≤10），求出y关于x的函数关系式；
（2）若生产第x档次的产品一天的总利润为1120元，求该产品的质量档次；
（3）求该产品一天的总利润为y的最大值．

Answer 1

分析 （1）由题意得出第x档次提高的档次是x-1档，根据总利润=单件利润×产量可得函数解析式；
（2）根据题意列出关于x的一元二次方程，解方程求得x的值，结合x的范围取舍即可得；
（3）将函数解析式配方成顶点式即可得最值情况．

解答 解：（1）∵第一档次的产品一天能生产95件，每件利润6元，每提高一个档次，每件利润加2元，但一天生产量减少5件．
∴第x档次，提高的档次是x-1档．
∴y=[6+2（x-1）][95-5（x-1）]，
即y=-10x²+180x+400（其中x是正整数，且1≤x≤10）；

（2）由题意可得：-10x²+180x+400=1120
整理得：x²-18x+72=0
解得：x₁=6，x₂=12（舍去）．
答：该产品的质量档次为第6档．

（3）∵y=-10x²+180x+400=-10（x-9）²+1210
∴该产品一天的总利润为y的最大值=1210元．

点评 本题主要考查二次函数的应用和一元二次方程的应用，根据相等关系列出函数解析式及一元二次方程是解题的关键．