Question

如图，点A是反比例函数y₁=

2

x

（x＞0）图象上的任意一点，过点A作AB∥x轴，交另一个反比例函数y₂=

k

x

（k＜0，x＜0）的图象于B点．若不论点A在何处，反比例函数y₂=

k

x

（k＜0，x＜0）图象上总存在一点D，使得四边形AOBD为平行四边形，求k的值．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：综合题

分析：假设y₂=

k

x

上有一点D，使四边形AOBD为平行四边形，过D作DE⊥AB，过A作AC⊥x轴，由四边形AOBD为平行四边形，利用平行四边形的对边平行且相等，利用AAS得到三角形AOC与三角形DBE全等，利用全等三角形对应边相等得到BE=OC，DE=AC，设A（a，

2

a

）（a＞0），即OC=a，AC=

2

a

，得出D与B纵坐标，进而表示出D与B横坐标，两横坐标之差的绝对值即为BE的长，利用等式，即可求出k的值．

解答：解：假设y₂=

k

x

上有一点D，使四边形AOBD为平行四边形，
过D作DE⊥AB，过A作AC⊥x轴，
∵四边形AOBD为平行四边形，
∴BD=OA，BD∥OA，
∴∠DBA=∠OAB=∠AOC，
在△AOC和△DBE中，

∠DBE=∠AOC ∠DEB=∠ACO=90° DB=AO

，
∴△AOC≌△DBE（AAS），
设A（a，

2

a

）（a＞0），即OC=a，AC=

2

a

，
∴BE=OC=a，DE=AC=

2

a

，
∴D纵坐标为

4

a

，B纵坐标为

2

a

，
∴D横坐标为

ak

4

，B横坐标为

ak

2

，
∴BE=|

ak

4

-

ak

2

|=a，即-

ak

4

=a，
∴k=-4．

点评：此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，坐标与图形性质，以及反比例函数的性质，熟练掌握性质是解本题的关键．