Question

7．如图，点O为线段AD上的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连接AC，BD交于点E，AC，BD分别与OB，OC相交于点H，G，连接BC．
（1）求证：△OGH为等边三角形；
（2）求∠AEB的度数．

Answer 1

分析 （1）求出OC=OD，AB=OA，∠COD=∠OAB=60°，进而证得四边形AOCB是平行四边形，根据平行四边形的性质求得OH=BH，OG=CG，从而证得OH=OG，根据等边三角形的判定即可证得结论；
（2）求出OC=OD，OA=OB，∠DOB=∠COA，证△DOB≌△COA，推出∠DBO=∠CAO，在△BEA中，根据三角形内角和定理求出即可．

解答 （1）证明：∵△DCO和△ABO是等边三角形，
∴OC=OD，AB=OA，∠COD=∠OAB=60°，
∵OA=OD，
∴AB∥OC，OC=AB，
∴四边形AOCB是平行四边形，
∴OH=BH，
同理：OG=CG，
∴OH=OG，
∵∠COB=60°，
∴△OGH为等边三角形；

（2）解：∵△DCO和△ABO是等边三角形，
∴OC=OD，OB=OA，∠OBA=∠OAB=60°，∠COD=∠BOA=60°，
∴∠COD+∠COB=∠BOA+∠COB，
∴∠DOB=∠COA，
在△DOB和△COA中，
$\left\{\begin{array}{l}{OD=OC}\\{∠DOB=∠COA}\\{OB=OA}\end{array}\right.$
∴△DOB≌△COA（SAS），
∴∠DBO=∠CAO，
∵∠OBA=∠OAB=60°
∴∠AEB=180°-（∠EBO+∠OBA+∠BAO）
=180°-（∠CAO+∠OBA+∠BAO）
=180°-（60°+60°）=60°．

点评 本题考查了等边三角形性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理的应用，关键是求出∠DBO=∠CAO．题目比较好．