题目内容
20．如图，正比例函数y=ax与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象交于点M（$\sqrt{6}$，$\sqrt{6}$）．
（1）求这两个函数的表达式；
（2）如图1，若∠AMB=90°，且其两边分别于两坐标轴的正半轴交于点A、B．求四边形OAMB的面积．
（3）如图2，点P是反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象上一点，过点P作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F，PF交直线OM于点H，过作x轴的垂线，垂足为G．设点P的横坐标为m，当m＞$\sqrt{6}$时，是否存在点P，使得四边形PEGH为正方形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
分析 （1）利用待定系数法即可解决问题．
（2）首先证明△AMC≌△BMD，推出S四边形OCMD=S四边形OAMB，即可解决问题．
（3）设P点坐标为（x，$\frac{6}{x}$），则PE=HG=GE=$\frac{6}{x}$，OE=x，
解答 解：（1）将点M（$\sqrt{6}$，$\sqrt{6}$）分别带入y=ax与y=$\frac{k}{x}$得：
$\sqrt{6}$=a$\sqrt{6}$，$\sqrt{6}$=$\frac{k}{\sqrt{6}}$，
解得：a=1，k=6．
∴这两个函数的表达式分别为：y=x，y=$\frac{6}{x}$．
（2）如图1中，过点M分别做x轴、y轴的垂线，垂足分别为C、D．
则∠MCA=∠MDB=90°，∠AMC=∠BMD=90°-∠AMD，MC=MD=$\sqrt{6}$，
∴△AMC≌△BMD，
∴S四边形OCMD=S四边形OAMB=6．
（3）设P点坐标为（x，$\frac{6}{x}$），则PE=HG=GE=$\frac{6}{x}$，OE=x，
∵∠MOE=45°，
∴OG=GH=$\frac{6}{x}$，
∴OE=OG+GH=$\frac{12}{x}$，
∴x=$\frac{12}{x}$，
解得x=2$\sqrt{3}$，
∴P点坐标为（2$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$）．
点评 本题考查反比例函数综合题、正比例函数的应用、全等三角形的判定和性质、正方形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加辅助线构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常压轴题．
练习册系列答案
阅读快车系列答案
相关题目
10．下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
| A． |  等边三角形 | B． |  平行四边形 | C． |  正六边形 | D． |  五角星 |
8．下列图形中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）
| A． |  | B． |  | C． |  | D． |  |
两个反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞1）和y=$\frac{1}{x}$在第一象限内的图象如图所示，点P在y=$\frac{k}{x}$（的图象上，PC⊥x轴于点C，交y=$\frac{1}{x}$的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交y=$\frac{1}{x}$的图象于点B，BE⊥x轴于点E，当点P在y=$\frac{k}{x}$（的图象上运动时，以下结论：①BA与DC始终平行；②PA与PB始终相等；③四边形PAOB的面积不会发生变化；④△OBA的面积等于四边形
如图，△ABC是等边三角形，高AD、BE相交于点H，BC=4，在BE上截取BG=2，以GE为边作等边三角形GEF，则△ABH与△GEF重叠（阴影）部分的面积为$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
不览夜景，未到重庆．山城夜景，早在清乾隆时期就已有名气，被时任巴县知县王尔鉴，列为巴渝十二景之一．在朝天门码头坐船游两江（即长江、嘉陵江），是游重庆赏夜景的一个经典项目．一艘轮船从朝天门码头出发匀速行驶，1小时后一艘快艇也从朝天门码头出发沿同一线路匀速行驶，当快艇先到达目的地后立刻按原速返回并在途中与轮船第二次相遇．设轮船行驶的时间为t（h），快艇和轮船之间的距离为y（km），y与t的函数关系式如图所示．问快艇与轮船第二次相遇时到朝天门码头的距离为55千米．