题目内容
【题目】定义：如果三角形的两个内角
与
满足
，那么称这样的三角形为“类直角三角形”．
尝试运用
（1）如图1，在
中，
，
，
，
是
的平分线．
①证明
是“类直角三角形”；
②试问在边
上是否存在点
（异于点
），使得
也是“类直角三角形”？若存在，请求出
的长；若不存在，请说明理由．
类比拓展
（2）如图2，内接于
，直径
，弦
，点是弧
上一动点（包括端点
，），延长
至点
，连结，且
，当
是“类直角三角形”时，求的长．
【答案】（1）①证明见解析，②存在，
；（2）
或
．
【解析】
（1）①证明∠A+2∠ABD=90°即可解决问题．
②如图1中，假设在AC边设上存在点E（异于点D），使得△ABE是“类直角三角形”．证明△ABC∽△BEC，可得
，由此构建方程即可解决问题．
（2）分两种情形：①如图2中，当∠ABC+2∠C=90°时，作点D关于直线AB的对称点F，连接FA，FB．则点F在⊙O上，且∠DBF=∠DOA．
②如图3中，由①可知，点C，A，F共线，当点E与D共线时，由对称性可知，BA平分∠FBC，可证∠C+2∠ABC=90°，利用相似三角形的性质构建方程即可解决问题．
（1）①证明：如图1中，
∵
是
的角平分线，
∴
，
∵
，∴
，
∴
，
∴
为“类直角三角形”．
②如图1中，假设在
边设上存在点
（异于点
），使得
是“类直角三角形”．在
中，∵
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
∴
，∴
，
∴，
∴
，
（2）∵
是直径，∴
，∵
，
，∴
，
①如图2中，当
时，作点关于直线的对称点
，连接
，
．则点在
上，且
，
∵
，且
，∴
，∴
，
，共线，
∵
∴
，∴
，∴
，即
∴
．
②如图3中，由①可知，点，，共线，当点与共线时，由对称性可知，
平分
，
∴
，∵
，
，∴
，
∴
，即
，∴
，且
中
解得
综上所述，当
是“类直角三角形”时，的长为或．
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