题目内容

如图，四边形ABCD是菱形，点D的坐标是（0， $数学公式$ ），以点C为顶点的抛物线y=ax²+bx+c恰经过x轴上的点A，B．
（1）求点C的坐标；
（2）若抛物线向上平移后恰好经过点D，求平移后抛物线的解析式．

解：（1）连接AC，在菱形ABCD中，CD∥AB，
AB=BC=CD=DA，
由抛物线对称性可知AC=BC．
∴△ABC，△ACD都是等边三角形．
∴CD=AD= $\text{[math]}$ =2
∴点C的坐标为（2， $\text{[math]}$ ）．

（2）由抛物线y=ax²+bx+c的顶点为（2， $\text{[math]}$ ），
可设抛物线的解析式为．y=a $\text{[math]}$
由（1）可得A（1，0），把A（1，0）代入上式，
解得a=- $\text{[math]}$ ．
设平移后抛物线的解析式为y=- $\text{[math]}$ （x-2）²+k，
把（0， $\text{[math]}$ ）代入上式得K=5 $\text{[math]}$ ．
∴平移后抛物线的解析式为：
y=- $\text{[math]}$ （x-2）²+5 $\text{[math]}$
即y=- $\text{[math]}$ x²+4 $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ ．
分析：（1）连接AC，在菱形ABCD中，CD∥AB，AB=BC=CD=DA，由抛物线对称性可知AC=BC．∴△ABC，△ACD都是等边三角形．可求CD=AD= $\text{[math]}$ =2，可得点C的坐标为（2， $\text{[math]}$ ）．
（2）由抛物线y=ax²+bx+c的顶点为（2， $\text{[math]}$ ），可设抛物线的解析式为：y=a $\text{[math]}$
由（1）可得A（1，0），把A（1，0）代入上式，解得a=- $\text{[math]}$ ，设平移后抛物线的解析式为y=- $\text{[math]}$ （x-2）²+k，把（0， $\text{[math]}$ ）代入上式得K=5 $\text{[math]}$ ．即可得到平移后抛物线的解析式．
点评：抛物线平移问题，实际上就是两条抛物线顶点之间的问题，找到了顶点的变化就知道了抛物线的变化，由此看来，只要抓住事物本质的东西，问题就可以迎刃而解了．