如图.抛物线y=-$\frac{1}{4}$x2+mx+n的图象经过点A(2.3).对称轴为直线x=1.一次函数y=kx+b的图象经过点A.交x轴于点P.交抛物线于另一点B.点A.B位于点P的同侧．(1)求抛物线的解析式,(2)若PA:PB=3:1.求一次函数的解析式,的条件下.当k＞0时.抛物线的对称轴上是否存在点C.使得⊙C同时与x轴和直线AP都相切.如果存在.请求出点C� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

3．如图，抛物线y=-$\frac{1}{4}$x²+mx+n的图象经过点A（2，3），对称轴为直线x=1，一次函数y=kx+b的图象经过点A，交x轴于点P，交抛物线于另一点B，点A、B位于点P的同侧．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若PA：PB=3：1，求一次函数的解析式；
（3）在（2）的条件下，当k＞0时，抛物线的对称轴上是否存在点C，使得⊙C同时与x轴和直线AP都相切，如果存在，请求出点C的坐标，如果不存在，请说明理由．

分析（1）根据抛物线的对称轴为x=1可求出m的值，再将点A的坐标代入抛物线的解析式中求出n值，此题得解；
（2）根据P、A、B三点共线以及PA：PB=3：1结合点A的坐标即可得出点B的纵坐标，将其代入抛物线解析式中即可求出点B的坐标，再根据点A、B的坐标利用待定系数法即可求出直线AP的解析式；
（3）假设存在，设出点C的坐标，依照题意画出图形，根据角的计算找出∠DCF=∠EPF，再通过解直角三角形找出关于r的一元一次方程，解方程求出r值，将其代入点C的坐标中即可得出结论．

解答解：（1）∵抛物线的对称轴为x=1，
∴-$\frac{m}{-\frac{1}{4}×2}$=1，解得：m=$\frac{1}{2}$．
将点A（2，3）代入y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x+n中，
3=-1+1+n，解得：n=3，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x+3．
（2）∵P、A、B三点共线，PA：PB=3：1，且点A、B位于点P的同侧，
∴y_A-y_P=3y_B-y_P，
又∵点P为x轴上的点，点A（2，3），
∴y_B=1．
当y=1时，有-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x+3=1，
解得：x₁=-2，x₂=4（舍去），
∴点B的坐标为（-2，1）．
将点A（2，3）、B（-2，1）代入y=kx+b中，
$\left\{\begin{array}{l}{3=2k+b}\\{1=-2k+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴一次函数的解析式y=$\frac{1}{2}$x+2．
（3）假设存在，设点C的坐标为（1，r）．
∵k＞0，
∴直线AP的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+2．
当y=0时，$\frac{1}{2}$x+2=0，
解得：x=-4，
∴点P的坐标为（-4，0），
当x=1时，y=$\frac{5}{2}$，
∴点D的坐标为（1，$\frac{5}{2}$）．
令⊙与直线AP的切点为F，与x轴的切点为E，抛物线的对称轴与直线AP的交点为D，连接CF，如图所示．
∵∠PFC=∠PEC=90°，∠EPF+∠ECF=∠DCF+∠ECF=180°，
∴∠DCF=∠EPF．
在Rt△CDF中，tan∠DCF=tan∠EPF=$\frac{1}{2}$，CD=$\frac{5}{2}$-r，
∴CD=$\frac{\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}}{2}$CF=$\frac{\sqrt{5}}{2}$|r|=$\frac{5}{2}$-r，
解得：r=5$\sqrt{5}$-10或r=-5$\sqrt{5}$-10．
故当k＞0时，抛物线的对称轴上存在点C，使得⊙C同时与x轴和直线AP都相切，点C的坐标为（1，5$\sqrt{5}$-10）或（1，-5$\sqrt{5}$-10）．