Question

20．如图，菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是射线CB上一点，F是CD上一点，且∠EAF=120°．
（1）如图1，求证：$\frac{AE}{AF}$=$\frac{AB}{CF}$；
（2）如图2，若△CEF的面积为2$\sqrt{3}$，求AB的长；
（3）如图3，求证：BF∥DE．

Answer 1

分析 （1）如图1，连接AC，根据菱形的性质得到∠D=60°，推出△ACB是等边三角形，求得∠BAC=60°根据相似三角形的性质得到$\frac{AE}{AF}=\frac{AC}{CF}$，等量代换得到结论；
（2）过F作FM⊥CE于M交EC的延长线于M，可得FM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$CF，根据三角形的面积列方程得到CE•CF=8，于是得到结论；
（3）由（1）有$\frac{AC}{CF}$=$\frac{CE}{AC}$，求得$\frac{CF}{CD}$=$\frac{CB}{CE}$，根据相似三角形的性质得到∠CBF=∠CED，即可得到结论．

解答 解：（1）如图1，连接AC，
∵在菱形ABCD中，∠ABC=60°，
∴∠D=60°，△ACB是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∵∠EAF=120°，
∴∠EAB=∠DAF，
∵∠EAC=60°+∠EAB，∠AFC=60°+∠DAF，
∴∠EAC=∠AFC，
∵∠ACE=∠ACF=60°，
∴△ACE∽△CAF，
∴$\frac{AE}{AF}=\frac{AC}{CF}$，
∵AB=AC，
∴$\frac{AE}{AF}$=$\frac{AB}{CF}$；

（2）由（1）知$\frac{AC}{CF}$=$\frac{CE}{AC}$，
∴AC²=CE•CF，
如图2，过F作FM⊥CE于M交EC的延长线于M，
可得FM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$CF，
∵△CEF的面积为2$\sqrt{3}$，
即$\frac{1}{2}$CE•FM=$\frac{1}{2}$CE•$\frac{\sqrt{3}}{2}$CF=2$\sqrt{3}$，
∴CE•CF=8，
即AC²=AB²=8，
∴AB=2$\sqrt{2}$；

（3）由（1）有$\frac{AC}{CF}$=$\frac{CE}{AC}$，
易知AC=AB=BC=CD，
∴$\frac{CD}{CF}$=$\frac{CE}{BC}$，
即$\frac{CF}{CD}$=$\frac{CB}{CE}$，
∵∠BCF=∠ECD，
∴△CBF∽△CED，
∴∠CBF=∠CED，
∴BF∥ED．

点评 本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，平行线的判定，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．