Question

8．设二次函数y=-$\frac{1}{4}$x²+bx+c的图象与坐标轴交于A（0，10），B（-4，0），C三点．
（1）求二次函数的表达式及点C的坐标；
（2）设点F为二次函数位于第一象限内图象上的动点，点D的坐标为（0，4），连结CD，CF，DF，记三角形CDF的面积为S．求出S的函数表达式，并求出S的最大值．

Answer 1

分析 （1）把A（0，10），B（-4，0）代入y=-$\frac{1}{4}$x²+bx+c求出b和c的值即可求出抛物线解析式，进而可求出点C的坐标；
（2）连结OF，如图，设F（t，-0.25t²+1.5t+10），由S_{四边形OCFD}=S_△CDF+S_△OCD=S_△ODF+S_△OCF计算即可．

解答 解：（1）把A（0，10），B（-4，0）代入y=-$\frac{1}{4}$x²+bx+c得；
$\left\{\begin{array}{l}c=10\\-4-4b+c=0\end{array}\right.$．
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=1.5}\\{c=10}\end{array}\right.$，
所以抛物线的解析式为y=-0.25x²+1.5x+10； 
当y=0时，-0.25x²+1.5x+10=0，
解得x₁=-4，x₂=10，
所以C点坐标为（10，0）；  
（2）连结OF，如图，设F（t，-0.25t²+1.5t+10），
∵S_{四边形OCFD}=S_△CDF+S_△OCD=S_△ODF+S_△OCF，
∴S=S_△CDF=S_△ODF+S_△OCF-S_△OCD
=$\frac{1}{2}$×4×t+$\frac{1}{2}$×10（-0.25t²+1.5t+10）-$\frac{1}{2}$×4×10，
=-1.25t²+9.5t+30．
=-1.25（t-3.8）²+48.05，
当t=3.8时，S有最大值，最大值为48.05．

点评 本题考查了待定系数法求函数解析式，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数解析式；（2）根据二次函数图象上点的坐标特征得出关于t的方程．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．