Question

18．在正方形ABCD中，AB=6，对角线交于点O，点 P在线段AC上，且OP=$\sqrt{2}$，将射线PB绕点P逆时针转45°，交BC于点F，则PF的长为$\frac{4\sqrt{10}}{3}$或$\frac{2\sqrt{10}}{3}$．

Answer 1

分析 根据正方形的性质得到AC=6$\sqrt{2}$，AC⊥BD，求得AO=BO=$\frac{1}{2}$AC=3$\sqrt{2}$，CP=4$\sqrt{2}$，根据勾股定理得到PB=$\sqrt{O{P}^{2}+O{B}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 解：如图1，在正方形ABCD中，AB=6，
∴AC=6$\sqrt{2}$，AC⊥BD，
∴AO=BO=$\frac{1}{2}$AC=3$\sqrt{2}$，
∵OP=$\sqrt{2}$，
∴CP=4$\sqrt{2}$，
在Rt△BPO中，PB=$\sqrt{O{P}^{2}+O{B}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵∠BPF=∠BAP=∠PCF=45°，
∴∠APB=∠PFC=135°-∠FPC，
∴△APB∽△CFP，
∴$\frac{AB}{PC}=\frac{PB}{PF}$，即$\frac{6}{4\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{5}}{PF}$，
∴PF=$\frac{4\sqrt{10}}{3}$，
如图2，在正方形ABCD中，AB=6，
∴AC=6$\sqrt{2}$，AC⊥BD，
∴AO=BO=$\frac{1}{2}$AC=3$\sqrt{2}$，
∵OP=$\sqrt{2}$，
∴CP=2$\sqrt{2}$，
在Rt△BPO中，PB=$\sqrt{O{P}^{2}+O{B}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵∠BPF=∠BAP=∠PCF=45°，
∴∠APB=∠PFC=135°-∠FPC，
∴△APB∽△CFP，
∴$\frac{AB}{PC}=\frac{PB}{PF}$，即$\frac{6}{2\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{5}}{PF}$，
∴PF=$\frac{2\sqrt{10}}{3}$，
综上所述：PF的长为$\frac{4\sqrt{10}}{3}$或$\frac{2\sqrt{10}}{3}$，
故答案为：$\frac{4\sqrt{10}}{3}$或$\frac{2\sqrt{10}}{3}$．

点评 本题考查了旋转的性质，正方形性质，相似三角形的判定和性质，正确是作出图形是解题的关键．