Question

9．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC=8，BD=6，动点M、N分别以每秒1个单位的速度从点A、D同时出发，分别沿A→O和D→A运动，当其中一点到达终点时另一点也停止运动，设运动时间为t秒．
（1）填空：①菱形ABCD的周长为20；②当MN⊥OA时，t的值为$\frac{20}{9}$；
（2）设y=MN²，求y与t的函数关系式，并求出y的最小值；
（3）当t=2时直线MN与r为半径的⊙O相切，请直接写出此时r的值．

Answer 1

分析 （1）①根据勾股定理及菱形的性质，求出菱形的周长；②由MN⊥OA，得到MN∥OD，根据相似三角形的性质即可得到结论；
（2）当0≤t≤$\frac{20}{9}$时，如图1，作ME⊥AD于E，根据相似三角形的性质得到AE=$\frac{4}{5}$t，ME=$\frac{3}{5}$t，由DN=t，求得NE=AD-DN-AE=5-$\frac{9}{5}$t，根据勾股定理得到y=$\frac{18}{5}$t²-18t+25；当$\frac{20}{9}$＜t≤4时，同理可求y=$\frac{18}{5}$t²-18t+25根据二次函数的性质即可得到结论；
（3）设⊙O与MN相切于G，连接OG，则OG⊥MN，过N作NH⊥AO于H，根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 解：（1）①在菱形ABCD中，
∵AC⊥BD，AO=$\frac{1}{2}$AC=4，BO=$\frac{1}{2}$BD=3，
∴AB=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5．
∴菱形ABCD的周长为20；
②∵MN⊥OA，
∴MN∥OD，
∴△AMN∽△AOD，
∴$\frac{AM}{AO}=\frac{AN}{AD}$，即$\frac{t}{4}=\frac{5-t}{5}$，
∴t=$\frac{20}{9}$；
故答案为：20，$\frac{20}{9}$；

（2）当0≤t≤$\frac{20}{9}$时，如图1，作ME⊥AD于E，
则△AME∽△ADO，
∴$\frac{AE}{AO}=\frac{AM}{AD}=\frac{ME}{OD}$，
∵AO=4，DO=3，AD=5，AM=t，
∴AE=$\frac{4}{5}$t，ME=$\frac{3}{5}$t，
∵DN=t，
∴NE=AD-DN-AE=5-$\frac{9}{5}$t，
∴y=MN²=ME²+NE²=（$\frac{3}{5}$t）²+（5-$\frac{9}{5}$t）²=$\frac{18}{5}$t²-18t+25；
当$\frac{20}{9}$＜t≤4时，同理可求y=$\frac{18}{5}$t²-18t+25，
∵a=$\frac{18}{5}$＞0，
∴当x=$\frac{5}{2}$时y有最小值，
即y_最小=$\frac{5}{2}$；

（3）设⊙O与MN相切于G，连接OG，则OG⊥MN，过N作NH⊥AO于H，
则△OGM∽△MNH，
∴$\frac{HN}{OG}=\frac{MN}{OM}$，
∵t=2，∴OM=2，AN=AD-DN=3，
MN=$\sqrt{\frac{18}{5}×{2}^{2}-18×2+25}$=$\frac{\sqrt{85}}{5}$，
∵△AHN∽△AOD，
∴$\frac{AN}{AD}=\frac{HN}{OD}$，
∴HN=$\frac{9}{5}$，
∴$\frac{\frac{9}{5}}{OG}=\frac{\frac{\sqrt{85}}{5}}{2}$，
∴OG=$\frac{18\sqrt{85}}{85}$，
∴r的值是$\frac{18\sqrt{85}}{85}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质、菱形、等腰三角形、勾股定理、解直角三角形、二次函数极值等知识点，涉及考点较多，有一定的难度．