Question

1．如图，已知AB为半圆O的直径，C为半圆O上一点，连接AC，BC，过点O作OD⊥AC于点D，过点A作半圆O的切线交OD的延长线于点E，连接BD并延长交AE于点F．
（1）求证：AE•BC=AD•AB；
（2）若半圆O的直径为10，sin∠BAC=$\frac{3}{5}$，求AF的长．

Answer 1

分析 （1）只要证明△EAD∽△ABC即可解决问题．
（2）作DM⊥AB于M，利用DM∥AE，得$\frac{DM}{AF}$=$\frac{BM}{BA}$，求出DM、BM即可解决问题．

解答 （1）证明：∵AB为半圆O的直径，
∴∠C=90°，
∵OD⊥AC，
∴∠CAB+∠AOE=90°，∠ADE=∠C=90°，
∵AE是切线，
∴OA⊥AE，
∴∠E+∠AOE=90°，
∴∠E=∠CAB，
∴△EAD∽△ABC，
∴AE：AB=AD：BC，
∴AE•BC=AD•AB．

（2）解：作DM⊥AB于M，
∵半圆O的直径为10，sin∠BAC=$\frac{3}{5}$，
∴BC=AB•sin∠BAC=6，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=8，
∵OE⊥AC，
∴AD=$\frac{1}{2}$AC=4，OD=$\frac{1}{2}$BC=3，
∴sin∠OAD=$\frac{OD}{AO}$=$\frac{3}{5}$，
∵sin∠OAD=sin∠MAD=$\frac{DM}{AD}$，
∴DM=$\frac{12}{5}$，AM=$\sqrt{A{D}^{2}-D{M}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-（\frac{12}{5}）^{2}}$=$\frac{16}{5}$，BM=AB-AM=$\frac{34}{5}$，
∵DM∥AE，
∴$\frac{DM}{AF}$=$\frac{BM}{BA}$，
∴AF=$\frac{60}{17}$．

点评 本题考查切线的性质、勾股定理、三角函数、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．