Question

13．如图，在△ABC中，AB=6cm，BC=12cm，AC=9cm，P点以1cm/s的速度从A点出发沿AC方向运动，Q点以2cm/s的速度从C点出发沿CB方向运动，问当P点运动到几秒时，△CPQ与△ABC相似？

Answer 1

分析 设运动时间为ts，则可表示出AP、CQ的长，进一步可表示出CP的长，利用相似三角形的性质可得到关于t的方程，可求得t的值．

解答 解：
设P点运动时间为ts，则AP=t，CQ=2t，
∵AC=9，BC=12，
∴CP=9-t，
若△CPQ与△ABC相似，则有△CPQ∽△CBA和△CPQ∽△CAB两种情况，
①若△CPQ∽△CBA，则$\frac{CP}{CQ}$=$\frac{CB}{CA}$，则有$\frac{9-t}{2t}$=$\frac{12}{9}$，解得t=$\frac{27}{11}$；
②若△CPQ∽△CAB，则$\frac{CP}{CQ}$=$\frac{CA}{CB}$，则有$\frac{9-t}{2t}$=$\frac{9}{12}$，解得t=$\frac{18}{5}$；
综上可知当P点运动到$\frac{27}{11}$秒或$\frac{18}{5}$秒时，△CPQ与△ABC相似．

点评 本题主要考查相似三角形的判定和性质，利用t表示出PC和QC的长，利用相似三角形的性质得到关于t的方程是解题的关键．