Question

11．如图，矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，沿对角线AC将矩形分成两个直角三角形，其中△ABC不动，△A′C′D沿射线CA的方向以每秒2cm的速度移动．
（1）在平移过程中，四边形ABC′D始终是①（请在下面的四个选项中选择一个你认为正确的序号填在横线上）；
①平行四边形，②矩形，③菱形，④正方形．
（2）在移动过程中，当移动时间t（秒）为何值时，四边形ABC'D是菱形．

Answer 1

分析 （1）直接利用平移的性质得出结论即可判断出四边形ABC'D是平行四边形；
（2）先根据勾股定理求出AC=10，再由菱形的性质得出BD⊥AC'，OB=OD，AO=OC'．进而由直角三角形的 面积公式即可求出BO，再根据勾股定理求出AO，最后求出CC'即可求出时间．

解答 解：（1）由平移得，AB=DC'，AB∥DC'，
∴四边形ABC'D是平行四边形，
故选①；
（2）如图，连接BD交AC于点O，
在Rt△ABC中，AB=6，BC=8，
∴AC=10，
∵四边形ABC'D是菱形，
∴BD⊥AC'，OB=OD，AO=OC'．
∵$\frac{1}{2}$AC•BO=$\frac{1}{2}$AB•BC，
∴BO=$\frac{AB•BC}{AC}$=$\frac{6×8}{10}$=$\frac{24}{5}$，
在Rt△ABO中，AB=6，BO=$\frac{24}{5}$，
∴AO=$\frac{18}{5}$，
∴C'O=AO=$\frac{18}{5}$，
∴AC'=AO+C'O=$\frac{36}{5}$，
∴CC'=AC-AC'=10-$\frac{36}{5}$=$\frac{14}{5}$，
∴t=$\frac{14}{5}$÷2=$\frac{7}{5}$，
当t=$\frac{7}{5}$秒时，四边形ABC'D是菱形．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定，菱形的性质，平移的性质，勾股定理，三角形的面积，求出BO是解本题的关键．