Question

如图1，在⊙O中，AB为⊙O的直径，AC是弦，OC=4，∠OAC=60°。
（1）求∠AOC的度数；
（2）在图1中，P为直径BA延长线上的一点，当CP与⊙O相切时，求PO的长；
（3）如图2，一动点M从A点出发，在⊙O上按逆时针方向运动，当S_△MAO=S_△CAO时，求动点M所经过的弧长。

Answer 1

解：（1）∵在△ACO中，∠OAC=60°，OC=OA
∴△ACO是等边三角形
∴∠AOC=60°
（2）∵CP与⊙O相切，OC是半径
∴CP⊥OC
∴∠P=90°-∠AOC=30°
∴PO=2CO=8；
（3）如图，
①作点C关于直径AB的对称点M₁，连接AM₁，OM₁
易得，∠AOM₁=60°
∴×60°=，
∴当点M运动到M₁时，S_△MAO=S_△CAO，此时点M经过的弧长为， 
②过点M₁作M₁M₂∥AB交⊙O于点M₂，连接AM₂，OM₂，
易得=S_△CAO
∴∠AOM₁=∠M₁OM₂=∠BOM₂=60°
∴或
∴当点M运动到M₂时，S_△MAO=S_△CAO，此时点M经过的弧长为，
③过点C作CM₃∥AB交⊙O于点M₃，连接AM₃，OM₃，
易得=S_△CAO
∴∠BOM₃=60°，
∴或
∴当点M运动到M3时，S_△MAO=S_△CAO，此时点M经过的弧长为， 
④当点M运动到C时，M与C重合，S_△MAO=S_△CAO，
此时点M经过的弧长为或。