Question

请在（1）和（2）两道题中自选一道题解答．

（1）如图1，在△ABC中，点D是BC边上的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且BE=CF．求证：△ABC为等腰三角形．
（2）已知：如图2，在△ABC中，∠B=∠ACB=

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∠BAC，CD是AB边上的高，CD=5．求BC边上的长．

Answer 1

分析：（1）由于DE⊥AB，DF⊥AC，那么∠DEB=∠DFC=90°，根据D是BC中点可得BD=CD，而BE=CF，根据HL可证Rt△BED≌Rt△CFD，于是∠B=∠C，进而可证△ABC等腰三角形；
（2）先设∠B=x，则∠BAC=4x，利用三角形内角和定理可得x+x+4x=180°，解得x=30°，在Rt△BCD中，利用30°的角所对的边等于斜边的一半可求BC=2CD=10．

解答：请在（1）和（2）两道题中自选一道题解答．
（1）解：∵点D是BC边上的中点，
∴BD=CD，
∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴∠DEB=∠DFC=90°，
在Rt△BED和Rt△CFD中，

BD=CD BE=CF

，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴∠B=∠C，
∴AB=AC，
∴△ABC等腰三角形；

（2）解：∵∠B=∠ACB=

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∠BAC，
∴设∠B=x，则∠BAC=4x，
在△ABC中，
∵∠B+∠ACB+∠BAC=180°，
∴x+x+4x=180°，
解得x=30，
即∠B=30°，
∵CD是AB边上的高，CD=5，
∴BC=10．

点评：本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定、含有30°角的直角三角形的性质，解题的关键是证明Rt△BED≌Rt△CFD，以及求出∠B．