Question

（2012•顺平县模拟）已知：如图1，在△ABC中，AB=AC=5，AD为底边BC上的高，且AD=3．将△ACD沿箭头所示的方向平移，得到△A'CD'（如图2），A'D'交AB于E，A'C分别交AB、AD 于G、F，以D'D为直径作⊙O，设BD'的长为x，⊙O的面积为 y．
（1）求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围（不考虑端点）；
（2）当BD'的长为多少时，⊙O的面积与△ABD的面积相等？（π取3，结果精确到 0.1）
（3）连接EF，求EF与⊙O 相切时x的值．

Answer 1

分析：（1）首先表示出圆的半径，才能表示出面积，（2）求出△ABD的面积，在表示出⊙O的面积，即可求出．
（3）证明四边形ED′DF是矩形，再利用三角形相似求出．

解答：解：（1）∵AB=AC=5，AD为底边BC上的高，且AD=3．
∴BD=4，设BD'的长为x，⊙O的面积为y，
∴y=π(

4-2x

2

) 2=π（2-x）²（0≤x≤4）；

（2）∵S_△ABD=

1

2

×3×4=6，y=π（2-x）²=3（2-x）²，
∴（2-x）²=2，
∴解得：x=2±

2

，
BD′=2±

2

时，⊙O的面积与△ABD的面积相等；

（3）连接EF，
∵△BD′E≌△CDF，
∴ED′=FD，ED′∥FD，∠FDC=90°，
∴四边形ED′DF是矩形，
∴DD′=EF，ED′=

1

2

DD′，
∵△BED′∽△BAD，
∴

BD′

BD

=

ED′

AD

，
∴

x

4

=

4-x 2

3

，
解得：x=

8

5

，
EF与⊙O 相切时x的值为

8

5

．

点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质，以及矩形的判定和求函数关系式，题目难度不大，非常典型．