Question

如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，过点O作OD⊥AB于点D，延长DO交⊙O于点P，过点P作PE⊥AC于点E，作射线DE交BC的延长线于F点，连接PF．
（1）求证：△ADO≌△PEO；
（2）若∠OAD=30°，劣弧PC长为2π，求AC的长度．

Answer 1

考点：三角形的外接圆与外心,全等三角形的判定与性质,弧长的计算

专题：

分析：（1）直接利用AAS得出△POE≌△AOD即可得出答案；
（2）利用弧长公式进而求出圆的半径，即可得出AC的长．

解答：（1）证明：∵PE⊥AC，OD⊥AB，
∠PEA=90°，∠ADO=90°
在△ADO和△PEO中，
∵

∠ADO=∠PEO ∠AOD=∠POE OA=OP

，
∴△POE≌△AOD（AAS）；

（2）解：∵∠OAD=30°，∠ADO=90°，
∴∠AOD=∠POE=60°，
∵劣弧PC长为2π，
∴

60π•OP

180

=2π，
∴OP=6，
∴AC的长度为：12．

点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及弧长公式等知识，得出∠POE=60°是解题关键．