Question

【题目】 己知抛物线向右平移2个单位，再向下平移3个单位后恰好经过点．

（1）求平移后抛物线的解析式；

（2）点A在平移后物线上，点A在该抛物线对称轴的右侧，将点A绕着原点逆时针旋转90°得到点B，设点A的横坐标为t；

①用t表示点B的坐标；

②若直线，且与平移后抛物线只有一个交点C，当点到直线AC距离取得最大值时，此时直线AC解析式．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①，②

【解析】

（1）根据二次函数平移性质“左加右减，上加下减”求出解析式；

（2）①根据旋转性质和全等三角形的判定证出，即可求出B的坐标；

②利用待定系数法求出的解析式，发现恒过顶点F，根据垂线段最短即可求出当点到直线AC距离取得最大值时，，从而求出AC的解析式．

解（1）∵抛物线向右平移2个单位，再向下平移3个单位，平移后抛物线解析式为

∴将代入得．

∴

（2）①如下图所示，过点A作AG⊥x轴于G，过点B作BH⊥x轴于H

点A坐标为，故

根据旋转可得．

故．

又．

∴

∴

∴点

②连接DF

令直线的解析式为，则．

∴即

因为直线，故可以设直线l：

联立：，得．

因为直线l与抛物线只有一个交点

∴即

所以直线

联立方程为：．

解得：，故点C纵坐标为

即点．

令直线，代入两点坐标得：

解得：

即

显然直线恒过定点F，令点D到的距离为d，则．

所以，此时．

由于，

∴直线与x轴的夹角呈45°，

∴直线解析式为：