Question

如图，设四边形ABCD是边长为1的正方形，以正方形ABCD的对角线AC为边长作第2个正方形ACEF，再以第2个正方形ACEF的对角线AE为边长作第3个正方形，如此进行下去，…
①记正方形ABCD的边长为a₁=12，依上述方法
②所作的正方形的边长依次记为a₂、a₃、a₄，则a₂=

 

，a₃=

 

，a₄=

 

；
③据上述规律写出第n个正方形的边长a_n的表达式，a_n=

 

．

Answer 1

分析：找到正方形对角线为正方形边长的

2

倍的关系，根据a₁即可求a₂，进而可以求a₃，…即可求a_n与n的关系，即可解题．

解答：解：①a₂为边长为a₁的正方形的对角线，
a₃为边长为a₂的正方形的对角线，…
又因为正方形中对角线长为边长的

2

倍，
所以a₂=12

2

，
a₃=24，
a₄=24

2

；
③根据a₁、a₂、a₃、a₄的大小可以推断a_n与n的关系，
a_n=12(

2

)n-1．
故答案为12

2

、24、24

2

、12(

2

)n-1．

点评：本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了正方形各边长相等、各内角为90°的性质，考查了学生找规律的能力，本题中找到a_n与n的关系是解题的关键．