题目内容

（2009•荆州二模）如图①，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=4
2
，另有一个等腰梯形DEFG（GF‖DE）的底边DE与BC重合，两腰分别落在AB、AC上，且G、F分别是AB、AC的中点，P点为AG上的一动点．
（1）填空：等腰梯形DEFG的面积为
6
6

（2）操作：固定△ABC，将等腰梯形DEFG以每秒1个单位的速度沿BC方向向右运动，直到点D与点C重合时停止．设运动时间为x秒，运动后的等腰梯形为DEF′G′（如图②）．
探究1：设在运动过程中△ABC与等腰梯形DEF′G′重叠部分的面积为y，直接写出y与x的函数关系式和自变量x的取值范围；
探究2：在运动过程中，四边形BDG′G能否是菱形？若能，设过动点P且平分此菱形面积的直线交GF于去，当S△PGQ=
2
8
时，求P点的位置；若不能，请说明理由．
分析：（1）首先根据勾股定理求得AB=AC=4；然后由三角形中位线定理易证△AGF∽△ABC，则由“相似三角形的面积比等于相似比的平方”和比例的性质得到S梯形DEFG的值；
（2）①本题要分两种情况解答：0≤x＜2
2
和2
2
≤x≤4
2
；
②BG∥DG′，GG′∥BC推出四边形BDG′G是平行四边形；当BD=BG=
1
2
AB=2时，四边形BDG′G为菱形．
解答：解：（1）如图①，∵在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=4
2
，
∴AB=AC=4．
∴S△ABC=
1
2
×4×4=8．
∵G、F分别是AB、AC的中点，
∴GF
∥
.
1
2
BC，
∴△AGF∽△ABC，
GF
BC
=
1
2
，
∴
S△AGF
S△ABC
=(
1
2
)2=
1
4
，
∴
S梯形DEFG
S△ABC
=
3
4
，则S梯形DEFG=
3
4
S△ABC=
3
4
×8=6．
故答案为：6；

（2）①分两种情况：
i）当0≤x＜2
2
时，
∵GM=
2
，
∴S?BDG′G=
2
x，
∴重叠部分的面积为y=6-
2
x，
∴当0≤x＜2
2
时，y与x的关系式为y=6-
2
x；

ii）如图②，当2
2
≤x≤4
2
时，
设FC与DG′交于点T，则∠TDC=∠TCD=45°
∴∠CTD=90°，TC=TD，
作TQ⊥DC于K，则TK=DK=KC=
1
2
（4
2
-x），
∴重叠部分的面积为y=
1
2
×
1
2
×（4
2
-x）2=
1
4
x2-2
2
x+8．

②能为菱形．理由如下：
如图③，∵BG∥DG′，GG′∥BC
∴四边形BDG′G是平行四边形，
当BD=BG=
1
2
AB=2时，四边形BDG′G为菱形
此时可求得x=2，
∴当x=2秒时，四边形BDG′G为菱形．

存在这样的动点P．理由如下：
易求△PGQ的边GQ上的高为
2
．
则
1
2
a×
2
=
2
8
，
解得，GQ=
1
4
．
∵PQ平分菱形BDGG′的面积，∴DP=GQ=
1
4
，即点P在点D左边
1
4
处．
点评：此题主要考查勾股定理、三角形中位线、等腰梯形的性质及菱形性质等知识点的综合运用，要求学生对所学知识能灵活运用．
练习册系列答案
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（2009•荆州二模）若实数x，y满足
x-2
+(y-
3
)2=0，则xy的值为
2
3
2
3
．
（2009•荆州二模）化简分式
a2-b2
a2+ab
的结果是（　　）
（2009•荆州二模）化简
54
+
1
2
+
12
=
3
6
+
2
2
+2
3
3
6
+
2
2
+2
3
．
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140°
140°
．
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1
4
1
4
．

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