题目内容
如图1，Rt△ABC中，∠A=90°，tanB=| 3 | 4 |
（1）求AB的长；
（2）当AP为何值时，矩形APQR的面积最大，并求出最大值．
为了解决这个问题，孔明和研究性学习小组的同学作了如下讨论：
张明：图2中的抛物线过点（12，36）在图1中表示什么呢？
李明：因为抛物线上的点（x，y）是表示图1中AP的长与矩形APQR面积的对应关系，那么，（12，36）表示当AP=12时，AP的长与矩形APQR面积的对应关系．
赵明：对，我知道纵坐标36是什么意思了！
孔明：哦，这样就可以算出AB，这个问题就可以解决了．请根据上述对话，帮他们解答这个问题．
分析：（1）由于y是x的函数且过（12，36）点，即AP=12时，矩形的面积为36，可求出PQ的长，进而在直角三角形BPQ中得出BP的值，根据AB=AP+BP即可求出AB的长．
（2）与（1）类似，可先用AP表示出BP的长，然后在直角三角形BPQ中，表示出PQ的长；根据矩形的面积计算方法即可得出关于y，x的函数关系式．然后可根据得出的函数的性质求出矩形的最大面积以及此时对应的x的值．
（2）与（1）类似，可先用AP表示出BP的长，然后在直角三角形BPQ中，表示出PQ的长；根据矩形的面积计算方法即可得出关于y，x的函数关系式．然后可根据得出的函数的性质求出矩形的最大面积以及此时对应的x的值．
解答：解：（1）当AP=12时，AP•PQ=36，
∴PQ=3，
又在Rt△BPQ中，tanB=
，
∴
=
∴PB=4．
∴AB=16．
（2）若AP=x，则PB=16-x，PQ=
（16-x），
∴y=
（16-x）x，
整理得y=-
（x-8）2+48．
∴当x=8时，y最大值=48．
∴PQ=3，
又在Rt△BPQ中，tanB=
| 3 |
| 4 |
∴
| PQ |
| PB |
| 3 |
| 4 |
∴PB=4．
∴AB=16．
（2）若AP=x，则PB=16-x，PQ=
| 3 |
| 4 |
∴y=
| 3 |
| 4 |
整理得y=-
| 3 |
| 4 |
∴当x=8时，y最大值=48．
点评：本题结合三角形、矩形的相关知识考查了二次函数的应用，用数形结合的思路求得相应的函数关系式是解题的关键．
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