题目内容
（2012•温州三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=Rt∠，BC=3，AC=4，D是AC的中点，P是AB上一动点，连接DP并延长至点E，使EP=DP，过P作PK⊥AC，K为垂足．设AP=m（0≤m≤5）．
（1）用含m的代数式表示DK的长；
（2）当AE∥BC时，求m的值；
（3）四边形AEBC的面积S会随m的变化而变化吗？若不变，求出S的值；若变化，求出S与m的函数关系式；
（4）作点E关于直线AB的对称点E'，当△DE'K是等腰三角形时，求m的值．（直接写出答案即可）
（1）用含m的代数式表示DK的长；
（2）当AE∥BC时，求m的值；
（3）四边形AEBC的面积S会随m的变化而变化吗？若不变，求出S的值；若变化，求出S与m的函数关系式；
（4）作点E关于直线AB的对称点E'，当△DE'K是等腰三角形时，求m的值．（直接写出答案即可）
分析：（1）在Rt△APK和Rt△ABC中，根据三角函数可得AK=
m，再分0≤m≤2.5和2.5＜m≤5两种情况讨论可得DK的长；
（2）先证△DPK∽△EDA，再根据相似三角形的性质可得m的值；
（3）分别过D、E作DG⊥AB，EH⊥AB，G、H为垂足，由AAS可证△DGP≌△EHP，根据全等三角形的性质和三角函数可得EH=DG=
×2=
，则S四边形AEBC=S△ABC+S△ABE，求得S的值；
（4）找到E点关于直线AB的对称点E'在DK的垂直平分线上的点，依此得到m的值．
| 4 |
| 5 |
（2）先证△DPK∽△EDA，再根据相似三角形的性质可得m的值；
（3）分别过D、E作DG⊥AB，EH⊥AB，G、H为垂足，由AAS可证△DGP≌△EHP，根据全等三角形的性质和三角函数可得EH=DG=
| 3 |
| 5 |
| 6 |
| 5 |
（4）找到E点关于直线AB的对称点E'在DK的垂直平分线上的点，依此得到m的值．
解答：解：（1）在Rt△APK和Rt△ABC中
cos∠BAC=
=
=
∴AK=
m…（1分）
∴当0≤m≤2.5时，DK=2-
m；
当2.5＜m≤5时，DK=
m-2；
（2）∵PK⊥AC，∠C=Rt∠，
∴PK∥BC∥AE，
∴△DPK∽△EDA，
∴
=
，
∵EP=DP，
∴
=
，即DK=
AD=1，
∴2-
m=1，
解得 m=
；
（3）四边形AEBC的面积S不变，且S=9
理由如下：
分别过D、E作DG⊥AB，EH⊥AB，G、H为垂足
则∠DGP=∠EHP=Rt∠
∵在△DPK与△EDA中，
，
∴△DGP≌△EHP（AAS）
∴DG=EH
∵sin∠BAC=
=
=
∴EH=DG=
×2=
，
∴S四边形AEBC=S△ABC+S△ABE=
×3×4+
×5×
=9；
（4）当△DE'K是等腰三角形时，m1=0，m2=1，m3=
，m4=
．
cos∠BAC=
| AC |
| AB |
| AK |
| AP |
| 4 |
| 5 |
∴AK=
| 4 |
| 5 |
∴当0≤m≤2.5时，DK=2-
| 4 |
| 5 |
当2.5＜m≤5时，DK=
| 4 |
| 5 |
（2）∵PK⊥AC，∠C=Rt∠，
∴PK∥BC∥AE，
∴△DPK∽△EDA，
∴
| DP |
| DE |
| DK |
| DA |
∵EP=DP，
∴
| DK |
| DA |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴2-
| 4 |
| 5 |
解得 m=
| 5 |
| 4 |
（3）四边形AEBC的面积S不变，且S=9
理由如下：
分别过D、E作DG⊥AB，EH⊥AB，G、H为垂足则∠DGP=∠EHP=Rt∠
∵在△DPK与△EDA中，
|
∴△DGP≌△EHP（AAS）
∴DG=EH
∵sin∠BAC=
| BC |
| AB |
| DG |
| AD |
| 3 |
| 5 |
∴EH=DG=
| 3 |
| 5 |
| 6 |
| 5 |
∴S四边形AEBC=S△ABC+S△ABE=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 6 |
| 5 |
（4）当△DE'K是等腰三角形时，m1=0，m2=1，m3=
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点评：考查了相似形综合题，涉及的知识有：三角函数，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，对称的性质，分类思想的运用，综合性较强，有一定的难度．
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