Question

阅读下面的例题，并回答问题．
【例题】解一元二次不等式：x²-2x-8＞0．
解：对x²-2x-8分解因式，得x²-2x-8=（x-1）²-9=（x-1）²-3²=（x+2）（x-4），
∴（x+2）（x-4）＞0．由“两实数相乘，同号得正，异号得负”，可得

x+2＞0 x-4＞0

①或

x+2＜0 x-4＜0.

②
解①得x＞4；解②得x＜-2．
故x²-2x-8＞0的解集是x＞4或x＜-2．
（1）直接写出x²-9＞0的解是

 

；
（2）仿照例题的解法解不等式：x²+4x-21＜0；
（3）求分式不等式：

4x+1

x-2

≤0的解集．

Answer 1

考点：一元一次不等式组的应用

专题：阅读型

分析：（1）利用平方差公式进行因式分解；
（2）利用“十字相乘法”对不等式的左边进行因式分解；
（3）需要分类讨论：

4x+1≥0 x-2＜0

或

4x+1≤0 x-2＞0

．

解答：解：（1）由原不等式得
（x+3）（x-3）＞0
解得 x＞3或x＜-3．
故答案是：x＞3或x＜-3；

（2）解：x²+4x-21=x²+4x+4-25=（x+2）²-5²=（x+7）（x-3），
∴（x+7）（x-3）＜0．
由“两实数相乘，同号得正，异号得负”，可得

x+7＞0 x-3＜0

①或

x+7＜0 x-3＞0

②
解①得-7＜x＜3；②无解．
故x²+4x-21＜0的解集是-7＜x＜3．

（3）解：由“两实数相除，同号得正，异号得负”且“分母不能为0”，可得

4x+1≥0 x-2＜0

①
或

4x+1≤0 x-2＞0

②
解①得-

1

4

≤x＜2；②无解．
故

4x+1

x-2

≤0的解集是-

1

4

≤x＜2．

点评：本题考查了一元一次不等式组的应用．此题抓住题目中“两实数相乘，同号得正，异号得负”进行解题．