Question

【题目】已知抛物线和抛物线（为正整数）．

（1）抛物线与轴的交点______，顶点坐标______；

（2）当时，请解答下列问题．

①直接写出与轴的交点______，顶点坐标______，请写出抛物线，的一条相同的图象性质______；

②当直线与，相交共有4个交点时，求的取值范围．

（3）若直线（）与抛物线，抛物线（为正整数）共有4个交点，从左至右依次标记为点，点，点，点，当时，求出，之间满足的关系式．

Answer 1

【答案】（1），；；（2）①，；；对称轴为直线（或与轴交点为，）；②，且，；（3）．

【解析】

（1）根据，可以求得该抛物线与x轴的交点和该抛物线的顶点坐标，本题得以解决；

（2）①将n＝1，代入yn得，据此可以求得该抛物线与x轴的交点和该抛物线的顶点坐标，然后根据（1）中的结果，写出抛物线y，yn的一条相同的图象性质即可；

②求出直线与相交只有1个交点时m的值，直线与相交只有1个交点时m的值，过点时m的值，过点时m的值，根据函数图象，从而可以得到当直线y＝x＋m与y，yn相交共有4个交点时，m的取值范围；

（3）根据一元二次方程根与系数的关系求出，，根据可得，进而可以求出k，n之间满足的关系式．

解：（1）∵抛物线，

∴当y＝0时，x1＝3，x2＝1，该抛物线的顶点坐标为（1，4），

∴抛物线y＝x2＋2x＋3与x轴的交点为（3，0），（1，0），

故答案为：（1，0），（3，0）；（1，4）；

（2）①当n＝1时，

抛物线，

∴当y1＝0时，x3＝3，x4＝1，该抛物线的顶点坐标为（1，），

∴该抛物线与x轴的交点为（3，0），（1，0），

抛物线y，yn的一条相同的图象性质是对称轴都是x＝1（或与x轴的交点都是（1，0），（3，0））；

②当直线与相交只有1个交点时，

由，得，

则，

∴，

当直线与相交只有1个交点时，

由，得，

则，

∴，

∴.

把，代入，得；把，代入，得，

∴，且，；

（3）由，得，

∴，

由，得，

∴，

∵，

∴

∴，

化简得：．