Question

【题目】如图，已知抛物线与轴交于点，且经过，两点，点是抛物线顶点，是对称轴与直线的交点，与关于点对称．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求证：；

（3）在抛物线的对称轴上是否存在点，使与相似．若有，请求出所有符合条件的点的坐标；若没有，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析；（3）有，或

【解析】

（1）已知抛物线过B、C两点，而且两点的坐标都已得出，可用待定系数法来求函数的解析式；

（2）由（1）可得抛物线顶点D（2，1），直线AC的解析式为y＝x＋3，由E是对称轴与直线AC的交点，可得E点坐标，由F与E关于点D对称，可得F点坐标，从点A、C分别向对称轴作垂线AM、CN，交对称轴于M、N，通过证明Rt△FAM∽Rt△FCN，根据相似三角形的性质即可求解；

（3）在△FDC中，三内角不等，且∠CDF为钝角，分两种情况：①若点P在点F下方时，②若点P在点F上方时，讨论即可求解．

解：（1）将点，代入得

解得，，

所以抛物线的解析式为；

（2）∵

∴抛物线顶点，

当x=0时，y=3，

∴A（0,3），

设直线AC的解析式为y=kx+b

把A，C坐标代入得

解得

∴直线的解析式为，

由是对称轴与直线的交点，

当x=2时，=5

∴，

由与关于对称，则，

从点分别向对称轴作垂线，交对称轴于，

∴AM=2,MF=10,CN=3,NF=15,

在和中

∵，

所以，

所以；

（3）在中，三内角不等，且为钝角

①若点在点下方时，

在中，为钝角

因为，，，

所以和不相等

所以，点在点下方时，两三角形不能相似

②若点在点上方时， 由，

当∽时，

设P（2,y）

∵A(0,3),F(2,-7),D（2，-1）C（5,8）

∴AF=，CF=，DF=6，PF=y+7

代入得，

解得y=-3

∴P（2，-3）；

当∽时，

代入得

解得y=19

∴P；

综上，点的坐标为或．