Question

【题目】如图1，在矩形ABCD中，点P是BC边上一点，连接AP交对角线BD于点E,.作线段AP的中垂线MN分别交线段DC,DB,AP,AB于点M,G,F，N.

（1）求证：；

（2）若，求.

（3）如图2，在（2）的条件下，连接CF，求的值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）

【解析】

（1）由等角对等边可得，再由对顶角相等推出，然后利用等角的余角相等即可得证；

（2）在中，利用勾股定理可求出BD=10，然后由等角对等边得到，进而求出BP=2，再利用推出，由垂直平分线推出，即可得到的值；

（3）连接CG，先由勾股定理求出，由（2）的条件可推出BE=DG，再证明△ABE≌△CDG，从而求出，并推出，最后在中，即可求出的值.

（1）证明：，

∵MN⊥AP

∴∠GFE=90°

∴∠BGN+∠GEF=90°

又

（2）在矩形ABCD中，

∴在中，

又∵在矩形ABCD中，

∴

∵MN垂直平分AP

（3）如图，连接CG，

在中，

在中，

又∵在矩形ABCD中，

在△ABE和△CDG中，

∵AB=DC，∠ABE=∠CDG，BE=DG

∴在中，