Question

【题目】如图，AB为⊙O的直径，AC为弦，点D为中点，过点D作DE⊥直线AC，垂足为E，交AB的延长线于点F

（1）求证：EF是⊙O的切线；

（2）若EF＝4，sin∠F＝，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）．

【解析】

（1）如图（见解析），连接BC，OD，先根据圆周角定理得到，再根据平行线的判定可得，然后根据垂径定理可得，从而根据平行线的性质可得，最后根据圆的切线的判定即可得证；

（2）先解直角三角形得到，再根据平行线的判定得出，然后根据相似三角形的判定与性质即可得．

（1）如图，连接BC，OD

∵AB是⊙O的直径

∴

又∵

∴

∵点D为中点

∴

∴

又∵OD是⊙O的半径

∴EF是⊙O的切线；

（2）在中，

设，则

由勾股定理得：，解得

∴

∴

设⊙O的半径为，则

∴

解得

故⊙O的半径为．