Question

【题目】如图，圆的直径为，在圆上位于直径的异侧有定点和动点，已知，点在半圆弧上运动（不与、重合），过作的垂线交的延长线于点．

（）求证： ．

（）当点运动到弧中点时，求的长．

（）当点运动到什么位置时， 的面积最大？并求这个最大面积．

Answer 1

【答案】（）证明见解析；（）；（）为直径时最大， 最大值=．

【解析】试题分析：（1）由圆周角定理知∠CAB=∠CPD，而∠ACB=∠PCD=90°，即可判定△ABC∽△PCD，根据相似三角形的性质可得，即可得结论；（2）当点P运动到AB弧中点时，过点B作BE⊥PC于点E．由题意知∠PCB=45°，CE=BE，而又∠CAB=∠CPB，得tan∠CPB=tan∠CAB=，代入数值可求得PE的值，从而求得PC的值，由（1）知CD=PC，即可求得CD的长；（3）由题意知，S△PCD=PCCD．由（1）可知，CD=PC即可得S△PCD=PC2．故PC最大时，S△PCD取得最大值；而PC为直径时最大，即可求解．

试题解析：

（）∵为直径，

∴，

又，

∴，

而，

∴，

∴，

∴．

（）当运动到中点时，过作于点，

∵为直径， ， ，

∴， ，

∵是的中点，

∴，

∴，

又，

∴．

∴，

从而，

由（）得．

（）当点在上运动时，

，由（）得，

∴，

故最大时， 取得最大值．

而为直径时最大，

∴最大值．