Question

【题目】我们定义：两边平方和等于第三边平方的两倍的三角形叫做“奇异三角形”．

（1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断命题：“等边三角形一定是奇异三角形” 是 命题．(填写“真命题、假命题”)

（2）在RtΔABC中，∠ACB＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b＞a，若RtΔABC是“奇异三角形”，则a：b：c＝ ．

（3）如图，在四边形ACBD中，∠ACB=∠ADB=90°，AD=BD，若在四边形ACBD内存在点E使得AE＝AD，CB＝CE．

①求证：ΔACE是“奇异三角形”；

②当ΔACE是直角三角形时，且AC＝，求线段AB 的长．

Answer 1

【答案】（1）真；（2）；（3）①证明见解析；②或．

【解析】

（1）等边三角形三边长相等，可判断符合“奇异三角形”定义；

（2）先根据勾股定理，可得出a、b、c的关系，再根据“奇异三角形”可得出a、b、c的关系，化简可求得a：b：c的值；

（3）①先在Rt△ABD和Rt△ACB中，利用勾股定理得出边的关系，再利用边长之间的转化，推导得出△ACE是“奇异三角形”；

②设BC=a，AD=b，根据“奇异三角形”ACE，可得出a、b之间的关系，在Rt△ACE中，利用勾股定理也可得a、b的关系式，从而求出a、b的值，进而得出AB的长．

（1）设等边三角形的边长为a

则两边平方和=，第三边平方的两倍为：2

∵2

∴结论为：真；

（2）∵△ABC是直角三角形，∴

∵△ABC是“奇异三角形”，∴

化简得：，

解得b=，c=

∴a：b：c＝；

（3） ①证明：

，

是“奇异三角形”

②设，

由①得：

为直角三角形

或

当时

由上述得

当时

由上述得

或