Question

如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P从点A开始沿边AC向点C以1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC，交AB于点D，连接PQ分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）．

（1）直接用含t的代数式分别表示：QB=　_________　，PD=　_________　．

（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．并探究如何改变Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度；

（3）如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ中点M所经过的路径长．

 

Answer 1

【答案】

（1）8﹣2t，t     （2）不存在   当点Q的速度为每秒个单位长度时，经过秒，四边形PDBQ是菱形        （3）2

【解析】

试题分析：（1）根据题意得：CQ=2t，PA=t，

∴QB=8﹣2t，

∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，PD∥BC，

∴∠APD=90°，

∴tanA==，

∴PD=t．

故答案为：（1）8﹣2t，t．

（2）不存在

在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，

∴AB=10

∵PD∥BC，

∴△APD∽△ACB，

∴，即，

∴AD=t，

∴BD=AB﹣AD=10﹣t，

∵BQ∥DP，

∴当BQ=DP时，四边形PDBQ是平行四边形，

即8﹣2t=，解得：t=．

当t=时，PD==，BD=10﹣×=6，

∴DP≠BD，

∴?PDBQ不能为菱形．

设点Q的速度为每秒v个单位长度，

则BQ=8﹣vt，PD=t，BD=10﹣t，

要使四边形PDBQ为菱形，则PD=BD=BQ，

当PD=BD时，即t=10﹣t，解得：t=

当PD=BQ，t=时，即=8﹣，解得：v=

当点Q的速度为每秒个单位长度时，经过秒，四边形PDBQ是菱形．

（3）如图2，以C为原点，以AC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系．

依题意，可知0≤t≤4，当t=0时，点M₁的坐标为（3，0），当t=4时点M₂的坐标为（1，4）．

设直线M₁M₂的解析式为y=kx+b，

∴，

解得，

∴直线M₁M₂的解析式为y=﹣2x+6．

∵点Q（0，2t），P（6﹣t，0）

∴在运动过程中，线段PQ中点M₃的坐标（，t）．

把x=代入y=﹣2x+6得y=﹣2×+6=t，

∴点M₃在直线M₁M₂上．

过点M₂做M₂N⊥x轴于点N，则M₂N=4，M₁N=2．

∴M₁M₂=2

∴线段PQ中点M所经过的路径长为2单位长度．

考点：相似三角形的判定与性质；一次函数综合题；勾股定理；菱形的判定与性质．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质以及一次函数的应用．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．