Question

如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=

1

4

x2-6与直线y=

1

2

x相交于A，B两点．
（1）求线段AB的长；
（2）若一个扇形的周长等于（1）中线段AB的长，当扇形的半径取何值时，扇形的面积最大，最大面积是多少；
（3）如图2，线段AB的垂直平分线分别交x轴、y轴于C，D两点，垂足为点M，分别求出OM，OC，OD的长，并验证等式

1

OC2

+

1

OD2

=

1

OM2

是否成立；
（4）如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，设BC=a，AC=b，AB=c．CD=b，试说明：

1

a2

+

1

b2

=

1

h2

．

Answer 1

分析：（1）分别过A、B两点作AE⊥x轴，BF⊥y轴，垂足分别为E、F，利用勾股定理求出AB的值．
（2）设扇形的半径为x，扇形面积为y．根据扇形的面积公式求出函数关系式化简即可．
（3）过点A作AE⊥x轴，垂足为点E．证明△AEO∽△CMO，利用线段比求出CO、OD的值．利用勾股定理求出OM．
（4）由题意利用勾股定理得AB²=a²+b²．然后推出a²b²=c²•h²可证明．

解答：解：（1）在平面直角坐标系中，抛物线y=

1

4

x2-6与直线y=

1

2

x相交于A，B两点．
∴A（-4，-2），B（6，3）
如图1，分别过A、B两点作AE⊥x轴，BF⊥x轴，垂足分别为E、F，
∴AB=OA+OB=

42+22

+

62+32

=5

5

（2）设扇形的半径为x，则弧长为(5

5

-2x)，扇形的面积为y
则y=

1

2

x(5

5

-2x)=-x2+

5

2

5

x=-(x-

5 5

4

)2+

125

16

∵a=-1＜0
∴当x=

5 5

4

时，函数有最大值y_最大=

125

16

（3）如图2，过点A作AE⊥x轴，垂足为点E．
∵CD垂直平分AB，点M为垂足
∴OM=

1

2

AB-OA=

5 5

2

-2

5

=

5

2

∵∠AEO=∠OMC，∠EOA=∠COM
∴△AEO∽△CMO
∴

OE

OM

=

AO

CO

∴

4

5 2

=

2 5

CO

∴CO=

5

2

•2

5

•

1

4

=

5

4

同理可得OD=

5

2

∴

1

OC2

+

1

OD2

=(

4

5

)2+(

2

5

)2=

20

25

=

4

5

∴

1

OM2

=

4

5

∴

1

OC2

+

1

OD2

=

1

OM2

（4）等式

1

a2

+

1

b2

=

1

h2

成立．理由如下：
∵∠ACB=90°，CD⊥AB
∴

1

2

ab=

1

2

AB•h   AB2=a2+b2
∴ab=c•h
∴a²b²=c²•h²
∴a²b²=（a²+b²）h²
∴

a2b2

a2b2h2

=

(a2+b2)h2

a2b2h2

∴

1

h2

=

a2+b2

a2b2

∴

1

h2

=

1

a2

+

1

b2

∴

1

a2

+

1

b2

=

1

h2

．

点评：本题考查的是二次函数的综合题，同时要注意的是函数与勾股定理相结合解答题目．